Satz von Atiyah-Jänich

Der Satz von Atiyah-Jänich ist ein Lehrsatz aus der Funktionalanalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen Fredholm-Operatoren und K-Theorie her.

Raum der Fredholm-Operatoren und Index-Abbildung

Es sei der (bis auf Isomorphie eindeutige) unendlich-dimensionale separable Hilbertraum und der Raum der beschränkten Fredholm-Operatoren auf mit der Operatornorm-Topologie.

Für einen kompakten Raum bezeichne seine topologische K-Theorie. Elemente in werden durch formale Differenzen

,

von Vektorbündeln über repräsentiert. Wir wollen einer stetigen Abbildung ein solches Element aus zuordnen.

Für eine stetige Abbildung hat man in jedem Punkt die endlich-dimensionalen Vektorräume

und , das heißt Kern und Kokern des Operators .

Im Allgemeinen ist es möglich, dass die Dimension dieser Vektorräume in einzelnen Punkten unstetig ist. Jedoch ist jede Abbildung homotop zu einer stetigen Abbildung , für die

und

konstante Dimension haben und Untervektorbündel von sind, das heißt wir haben ein Element

.

Weiterhin hängt dieses Element nicht davon ab, welche zu homotope Abbildung verwendet wird.

Daher definiert diese Konstruktion eine Abbildung

von der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von nach in . Sie heißt Indexabbildung und die formale Differenz heißt Indexbündel.

Satz von Atiyah-Jänich

Der von Michael Atiyah vermutete und von Klaus Jänich bewiesene Lehrsatz besagt, dass

eine Bijektion ist.

Der Raum der Fredholm-Operatoren realisiert also den die topologische K-Theorie klassifizierenden Raum .

Betrachtet man den Spezialfall eines einpunktigen Raums, so ist einerseits , andererseits können die stetigen Abbildungen mit den Fredholmoperatoren identifiziert werden. Man zeigt, dass die Homotopieklasse einer Abbildung durch den Fredholm-Index von bestimmt wird und obige Abbildung bei der Identifikation von mit genau mit dem Fredholm-Index übereinstimmt. Daher verallgemeinert die Indexabbildung den Fredholm-Index.

Literatur

  • Klaus Jänich: Vektorraumbündel und der Raum der Fredholm-Operatoren. Math. Ann. 161 (1965) 129–142.
  • Max Karoubi: Espaces classifiants en K-théorie. Trans. Amer. Math. Soc. 147 (1970) 75–115.
  • Bernhelm Booss: Topologie und Analysis. Einführung in die Atiyah-Singer-Indexformel. Hochschultext. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1977. ISBN 3-540-08451-7

Weblinks

Atiyah: Algebraic topology and operators in Hilbert space