Multinomialtheorem

In der Mathematik stellt das Multinomialtheorem (auch Multinomialformel oder Multinomialsatz) oder Polynomialtheorem eine Verallgemeinerung der binomischen Formel auf die Summe beliebig vieler Koeffizienten dar, indem es die Binomialkoeffizienten als Multinomialkoeffizienten verallgemeinert.

Formel

Der Multinomialkoeffizient ist für nichtnegative ganze Zahlen und definiert als

Der Multinomialsatz lautet dann

Eine kürzere Formulierung erlaubt die Multiindexnotation mit Multiindex :

Dabei identifiziert man mit dem Vektor .

Anwendung

Als Korollar aus dem Multinomialtheorem gewinnt man beispielsweise für Multiindizes die Abschätzung

für alle mit ,

also

.

Beweisskizze

Das Multinomialtheorem lässt sich wahlweise mit Hilfe einer mehrdimensionalen Taylorentwicklung erster Ordnung oder durch vollständige Induktion über unter Zuhilfenahme des binomischen Lehrsatzes beweisen.

Siehe auch

Literatur

Weblinks