Goldener Schnitt

Proportionen beim Goldenen Schnitt einer Strecke:

Der Goldene Schnitt (lateinisch sectio aurea, proportio divina, Bedeutung: Goldener Schnitt bzw. göttliche Proportion), gelegentlich auch stetige Teilung, einer Strecke bezeichnet ihre Zerlegung in zwei Teilstrecken, sodass sich die längere Teilstrecke zur Gesamtstrecke verhält wie die kürzere Teilstrecke zur längeren Teilstrecke. Das Konzept ist bereits seit der Antike zur Zeit des Euklid bekannt. Der Goldene Schnitt findet häufige Anwendung in der Kunst, taucht aber auch in der Natur auf.

Durch mathematische Formeln ausgedrückt gilt für den Goldenen Schnitt zweier Teilstrecken und (siehe rechtes Bild):

oder

Das mittels Division dieser Größen als Zahl berechnete Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes ist eine dimensionslose irrationale Zahl, das heißt eine Zahl, die sich nicht als Bruch ganzer Zahlen darstellen lässt. Diese Zahl wird ebenfalls als Goldener Schnitt bezeichnet. Als mathematisches Symbol für diese Zahl wird meist der griechische Buchstabe Phi (, oder , heutige Aussprache [fi:]), seltener auch Tau (, ) oder verwendet. Es gilt

wobei die Quadratwurzel aus 5 bezeichnet.

Aus Sicht der Mathematik besitzt der goldene Schnitt zahlreiche besondere Eigenschaften. Neben der geometrischen Auffassung kann er auch als die positive Lösung der quadratischen Gleichung definiert werden. Er ist damit eine algebraische Zahl vom Grade 2. Bemerkenswert ist seine enge Verbindung zu der Fibonacci-Folge, die sich durch die explizite Binet-Formel ausdrückt, obgleich die Fibonacci-Folge zunächst nur rekursiv, also implizit, erklärt ist. Darüber hinaus konnte gezeigt werden, dass der Goldene Schnitt unter den irrationalen Zahlen zwischen 1 und 2 am schlechtesten durch Brüche angenähert werden kann. Zentrales Argument für diese Tatsache ist seine Kettenbruchentwicklung, die nur aus der Zahl 1 besteht, ergo unter allen Kettenbrüchen am langsamsten konvergiert.

Die Kenntnis des Goldenen Schnittes ist in der mathematischen Literatur seit der Zeit der griechischen Antike (Euklid von Alexandria) nachgewiesen, war jedoch vor mehr als 2300 Jahren – vom Grundsatz her – nur wenigen bekannt. Vereinzelt schon im Spätmittelalter und besonders dann in der Renaissance (Luca Pacioli, Johannes Kepler) wurde er auch in philosophische und theologische Zusammenhänge gestellt. Der Überlieferung nach, erhielt er mit diesem Namen erst ab der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts größeren Bekanntheitsgrad. Die heute gebräuchliche Bezeichnung bzw. für den Zahlenwert geht auf den amerikanischen Mathematiker Mark Barr aus dem Jahr 1910 zurück. Der Goldene Schnitt ist nicht nur in Mathematik, Kunst oder Architektur von Bedeutung, sondern findet sich auch in der Natur, beispielsweise bei der Anordnung von Blättern und in Blütenständen mancher Pflanzen wieder.

Definition

Veranschaulichung auf dem Zahlenstrahl

Eine Strecke wird durch einen inneren Punkt so geteilt, dass das Verhältnis der Länge des größeren Teilabschnitts zur Länge des kleineren Teilabschnitts dem Verhältnis der Strecke zur Länge des größeren Teilabschnitts gleich ist. Es gilt somit beziehungsweise . Diese Teilung heißt Goldener Schnitt der Strecke . Man spricht dann davon, dass der Punkt die Strecke im Goldenen Schnitt teilt, oder auch von der stetigen Teilung[1] der Strecke durch den Punkt .

Eine einfache Rechnung zeigt:

.
Für die detaillierte Herleitung  

Die in der Einleitung angegebene Definition

lautet mit aufgelöster rechter Seite und nach Umstellung

beziehungsweise mit wie folgt:

Multiplikation mit ergibt die quadratische Gleichung

mit den beiden Lösungen und , die zum Beispiel durch Anwendung der Mitternachtsformel erhalten werden können.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für die Goldene Zahl in Frage kommt, folgt[2]

Wird eine Strecke im Goldenen Schnitt geteilt, so gilt für den längeren Abschnitt

und für den kürzeren

.

Geschichte

Antike

Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes findet sich im zweiten Buch der Elemente des Euklid (um 300 v. Chr., siehe Innere Teilung nach Euklid), der darauf über seine Untersuchungen an den platonischen Körpern und dem Fünfeck beziehungsweise dem Pentagramm stieß. Seine Bezeichnung für dieses Teilungsverhältnis wurde später ins Lateinische als „proportio habens medium et duo extrema“ übersetzt, was als „Teilung im inneren und äußeren Verhältnis“ bezeichnet wird.[3][4][5]

Mittelalter

Liber abbaci, MS Biblioteca Nazionale di Firenze, Codice Magliabechiano cs cI 2616, fol. 124r: Fibonacci-Zahlen am Rand der „Kaninchenaufgabe“

In seinem Rechenbuch Liber abbaci (nicht erhaltene Erstfassung 1202, erhaltene 2. Fassung nicht vor 1220), einem umfangreichen arithmetischen und algebraischen Lehrwerk über das Rechnen mit den indo-arabischen Ziffern, kommt der italienische Mathematiker Leonardo da Pisa, genannt „Fibonacci“, kurz auf die später nach ihm benannte Fibonacci-Folge zu sprechen. Dies geschah im Zusammenhang mit der Kaninchen-Aufgabe. Hierbei war zu errechnen, wie viele Kaninchenpaare bei einer Fortpflanzungsrate von einem Paar Jungkaninchen pro Elternpaar und Monat nach Ablauf eines Jahres insgesamt vorhanden sind. Vorausgesetzt, dass ein erstes Paar bereits im ersten Monat und dessen Nachwuchs jeweils ab seinem zweiten Lebensmonat Junge wirft.[6] Leonardo führt die Zahlenfolge für jeden Monat vor (2, 3, 5, 8 … bis 377) und weist darauf hin, dass sich jedes Glied der Reihe (ab dem dritten) durch Summierung der beiden vorhergehenden Reihenglieder errechnen lässt. Eine weitere Beschäftigung mit dieser Folge findet sich bei ihm nicht, d. h., der Zusammenhang zum Goldenen Schnitt wird von ihm nicht dargestellt. Dass ihm allerdings der (erst später so genannte) Goldene Schnitt bekannt und in der Tradition Euklids ein Begriff war, zeigt sich gegen Ende seines Werks bei einer algebraischen Aufgabe, in der es darum geht (in moderner Formulierung wiedergegeben)[7] und zu finden mit und . Hierzu weist Leonardo darauf hin, dass im Fall von die Proportion gilt, 10 also von und im Verhältnis des Goldenen Schnittes (ohne diesen Begriff zu gebrauchen) geteilt wird („et scis, secundum hanc diuisionem, 10 diuisa esse media et extrema proportione; quia est sicut 10 ad maiorem partem, ita maior pars ad minorem“).[8]

Renaissance

Der vitruvianische Mensch, Leonardo da Vinci, 1492, Proportionsstudie nach Vitruv

Einen Zusammenhang zwischen Fibonacci-Folge und Goldenem Schnitt stellte Leonardo jedoch noch nicht her: Die Entdeckung, dass sich bei Teilung eines Gliedes der Fibonacci-Folge durch das vorhergehende Reihenglied als Näherungswert ergibt, wurde lange Zeit Johannes Kepler zugeschrieben, konnte jedoch in jüngerer Zeit schon in einer handschriftlichen Anmerkung nachgewiesen werden, mit der ein mutmaßlich aus Italien stammender Leser in der ersten Hälfte des 16. Jahrhunderts Euklids Theorem II.11 in der Euklid-Ausgabe Paciolis von 1509 kommentierte:

“Sit linea ab 233 pedum, divisa ut docet 11 huius in duo inaequalia in puncto h et sit bh portio eius maior 144 et ha portio eius minor 89. ducatur ab in ha et perveniunt 20737 et bh in se et perveniunt 20736. et sic cognosces quod in mutationibus non est laborandum quid impossibile est numerum ita dividi ut ista 11 proponit. similiter accidit si linea 13 pedum dividatur in lineam 8 pedum, et lineam 5.”

„Eine Gerade ab von 233 Fuß sei so, wie es Theorem 11 hier vorführt, an einem Punkt h in zwei ungleiche Teile geteilt, und dabei sei bh sein größerer Teil mit 144 und ha sein kleinerer Teil mit 89. ab sei multipliziert mit ha, und es ergeben sich 20737, und bh multipliziert mit sich selbst, so ergeben sich 20736. Und daran magst du erkennen, dass man sich nicht mit Ersetzungen abzumühen braucht, um zu zeigen, dass es unmöglich ist, die Zahl so zu teilen, wie es hier Theorem 11 vorführt. Das gleiche ergibt sich, wenn eine Gerade von 13 Fuß in eine Gerade von 8 und eine von 5 Fuß geteilt wird.“[9]

Der Herausgeber dieser Euklid-Ausgabe, der Franziskaner Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der an der Universität von Perugia Mathematik lehrte, hatte sich intensiv mit dem Goldenen Schnitt befasst. Er nannte diese Streckenteilung „göttliche Teilung“, was sich auf Platons Identifizierung der Schöpfung mit den fünf platonischen Körpern bezog, zu deren Konstruktion der Goldene Schnitt ein wichtiges Hilfsmittel darstellt. Sein gleichnamiges Werk De divina proportione von 1509 besteht aus drei unabhängigen Büchern. Bei dem ersten handelt es sich um eine rein mathematische Abhandlung, die jedoch keinerlei Bezug zur Kunst und Architektur herstellt. Das zweite ist ein kurzer Traktat über die Schriften des Römers Vitruv aus dem 1. Jahrhundert v. Chr. zur Architektur, in denen Vitruv die Proportionen des menschlichen Körpers als Vorlage für Architektur darstellt. Dieses Buch enthält eine Studie von Leonardo da Vinci (1452–1519) über den vitruvianischen Menschen. Das Verhältnis von Seite des den Menschen umgebenden Quadrats zu Radius des umgebenden Kreises – nicht das Verhältnis der Proportionen des Menschen selbst – in diesem berühmten Bild entspricht mit einer Abweichung von 1,7 % dem Goldenen Schnitt, der jedoch im zugehörigen Buch gar nicht erwähnt wird. Darüber hinaus würde diese Abweichung bei einem konstruktiven Verfahren nicht zu erwarten sein.

Ein Kepler-Dreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck, das durch drei Quadrate gebildet werden kann, deren Flächenverhältnisse sich in geometrischer Progression wie der Goldene Schnitt verhalten.

Im Oktober 1597 stellte Johannes Kepler in einem Brief an seinen früheren Tübinger Professor Michael Maestlin die Frage, warum es nur eine einzige mögliche Lösung gebe für die Aufgabe, ein rechtwinkliges Dreieck zu konstruieren, bei dem das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite dem der längeren zur Hypotenuse entspricht (Kepler-Dreieck). Auf das Original dieses Briefes notierte Maestlin eine Berechnung, die die Hypotenuse einmal mit 10 und einmal mit 10.000.000, und für den letzteren Fall dann die längere Seite mit 7.861.514 und die kürzeste Seite mit 6.180.340 beziffert. Das entspricht einer bis auf die sechste Nachkommastelle genauen (und bis zur fünften korrekten) Angabe des Goldenen Schnittes und ist nach den älteren sexagesimalen Berechnungen der Antike die erste bekannte dezimale Angabe dieser Art.[10]

18. und 19. Jahrhundert

Populär wurde der Begriff Goldener Schnitt erst in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts, obwohl die mathematischen Prinzipien schon seit der Antike bekannt waren. Der Begriff Goldene Zahl stammt aus dieser Zeit, noch 1819 wird dieser Begriff mit dem Meton-Zyklus in einem der griechischen Kalendersysteme in Verbindung gebracht.[11] In der deutschen Literatur sind bereits anfangs des 18. Jahrhunderts vereinzelt Hinweise auf eine sinngemäße bzw. wortwörtliche Form des Begriffes „Goldener Schnitt“ zu finden. Erst ab dem zweiten Viertel des 19. Jahrhunderts war er weiterverbreitet.[12][13] Die folgende Beispiele aus der deutschen Literatur verweisen auf den Begriff in ähnlicher Art und Weise.

1717 wurde der Begriff Goldener Schnitt sinngemäß von M. Johann Wentzel Kaschuben in seinem Werk Cvrsvs mathematicvs: …[14] verwendet. Er beschreibt darin eine geometrische Aufgabe (Näheres im Abschnitt Goldener Schnitt als Konstruktionselement), deren Lösung dieses besondere Teilungsverhältnis verlangt. Am Schluss der Aufgabe §.35. ist zu lesen: „Die Alten hissen diesen Schnitt den Goldenen.“[15] Zu jener Zeit fand das Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes auch in der Akustik bezüglich Verhältnisse der Saitenlänge Anwendung. Diese Anwendung des Teilungsverhältnisses – so Ernst Florens Friedrich Chladni 1802 in Die Akustik unter Die geometrische Theilung – wollte auch Leibnitz.[16] Zwar lassen sich damit nicht Tonhöhenabstande sprich Intervalle finden, aber umso mehr wird es zu deren „gewissen notwendigen Abänderungen“ gebraucht. Chladni leitete die Tonverhältnisse nicht aus Saitenlängen ab, sondern aus den Verhältnissen der Schwingungszahlen[16] Bezüglich Goldener Schnitt merkt Chladni an: „Es ist diese Theilung eben dasselbe, was von einigen ältern Mathematikern, die besondere Eigenschaften darin finden wollten, sectio aurea, oder sectio divina [der Goldene Schnitt oder göttliche Schnitt] genennt worden ist.“

Etwas mehr als fünfzig Jahre später, wurden die Proportionen des menschlichen Körpers wissenschaftlich mit denen des Goldenen Schnittes verglichen. Adolf Zeising benennt 1854 in Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers... das Ergebnis der „Maassbestimmungen [...] kurzweg, das Proportionalgesetz“. Er beschreibt es als einen geometrischen Weg zur proportionalen Teilung einer Linie [17] und stellt fest:

„Die Mathematiker nennen die hier erörterte Theilung einer gegebenen Linie die „Theilung im äussern und mittlern Verhältnisse“ oder „den goldnen Schnitt“. Der Grund der letztern Benennung ist mir nicht bekannt; doch rührt sie wahrscheinlich daher, weil man die ausserordentlichen Vorzüge des Verhältnisses, welches man durch diese Theilung gewinnt, und die Vollkommenheit der durch dieses Verhältniss gebildeten Proportion mit richtigem Blicke erkannt hat.“

Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, […][18]

Gustav Theodor Fechner, ein Begründer der experimentellen Psychologie, stellte 1876 bei Untersuchungen mit Versuchspersonen anhand von Rechtecken in der Tat eine Präferenz für den Goldenen Schnitt fest.[19] Die Ergebnisse bei der Streckenteilung und bei Ellipsen fielen jedoch anders aus. Neuzeitliche Untersuchungen zeigen, dass das Ergebnis solcher Experimente stark vom Kontext der Darbietung abhängt. Fechner fand ferner bei Vermessungen von Bildern in verschiedenen Museen Europas, dass die Seitenverhältnisse im Hochformat im Mittel etwa 4:5 und im Querformat etwa 4:3 betragen und sich damit deutlich vom Goldenen Schnitt unterscheiden.[20][21]

Algebraische und analytische Eigenschaften

Algebraisch

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, das heißt, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie ist jedoch eine algebraische Zahl vom Grad 2, insbesondere kann sie mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Zusammenhang mit den Fibonacci- und Lucas-Zahlen

Verhältnisse aufeinanderfolgender
Fibonacci-Zahlen
Abweichung
zu in %
01 01 = 1,0000 −38,0000
01 02 = 2,0000 +23,0000
02 03 = 1,5000 −7,300
03 05 ≈ 1,6667 +3,000
05 08 = 1,6000 −1,100
08 13 = 1,6250 +0,430
13 21 ≈ 1,6154 −0,160
21 34 ≈ 1,6190 +0,063
34 55 ≈ 1,6176 −0,024
55 89 ≈ 1,6182 0+0,0091
89 144 ≈ 1,6180 0−0,0035
144 233 ≈ 1,6181 0+0,0013

In einem engen Zusammenhang zum Goldenen Schnitt steht die unendliche Zahlenfolge der Fibonacci-Zahlen (siehe unten die Abschnitte Mittelalter und Renaissance):

Die jeweils nächste Zahl in dieser Folge wird als Summe der beiden vorangehenden erhalten. Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Zahlen der Fibonacci-Folge strebt gegen den Goldenen Schnitt (siehe Tabelle). Das rekursive Bildungsgesetz bedeutet nämlich

.

Sofern dieses Verhältnis gegen einen Grenzwert konvergiert, muss für diesen gelten

.

In der Tat lässt sich daraus

folgern.[22] Die Glieder der Fibonacci-Folge lassen sich für alle über die Formel von Binet berechnen:[23]

.

Diese Formel liefert die für die Fibonacci-Folge veranschlagten Anfangswerte und und erfüllt die rekursive Gleichung für alle mit .[24]

Ähnlich gilt

für die -te Lucas-Zahl.[25] Allgemeiner ist jede komplexe Folge mit von der Form , wobei komplexe Zahlen sind.[26]

Approximationseigenschaften

Die Goldene Zahl ist eine irrationale Zahl, sie lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Sie wird manchmal die „irrationalste“ aller Zahlen genannt,[27] weil sie sich (in einem speziellen zahlentheoretischen Sinn) besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren lässt (diophantische Approximation).[28][29] Dies soll im Folgenden durch einen Vergleich mit der ebenfalls irrationalen Kreiszahl illustriert werden. Letztere ist wesentlich besser approximierbar als , zum Beispiel lässt sich durch den Bruch mit einer Abweichung von nur zirka 0,00126 approximieren. Ein derartig geringer Fehler wäre im Allgemeinen erst bei einem sehr viel größeren Nenner zu erwarten.[30]

Die Goldene Zahl lässt sich direkt aus der Forderung nach möglichst schlechter Approximierbarkeit durch rationale Zahlen konstruieren. Um das zu verstehen, ist das folgende Verfahren zur Approximation beliebiger Zahlen durch einen Bruch am Beispiel der Zahl zu bedenken. Zunächst wird diese Zahl in ihren ganzzahligen Anteil und einen Rest zerlegt, der kleiner als ist: . Der Kehrwert dieses Restes ist eine Zahl, die größer als ist. Sie lässt sich daher wiederum zerlegen in einen ganzzahligen Anteil und einen Rest kleiner als : . Wird mit diesem Rest und allen folgenden ebenso verfahren, dann folgt die unendliche Kettenbruchentwicklung der Zahl

Wird diese Kettenbruchentwicklung nach endlich vielen Schritten abgebrochen, dann werden für die bekannten Näherungen , , , , … erhalten, die rasch gegen streben. Für jeden einzelnen dieser Brüche gilt, dass es keinen Bruch mit einem höchstens gleich großen Nenner gibt, der besser approximiert. Dies gilt ganz allgemein:

Wenn die Kettenbruchentwicklung einer irrationalen Zahl an irgendeiner Stelle abgebrochen wird, so ergibt sich eine rationale Zahl , die optimal approximiert unter allen rationalen Zahlen mit Nenner .[31]

Im obigen Kettenbruch erscheint vor jedem Pluszeichen eine ganze Zahl. Je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist der Bruch, in dessen Nenner sie steht, und umso kleiner ist auch der Fehler, der entsteht, wenn der unendliche Kettenbruch vor diesem Bruch abgebrochen wird. Die größte Zahl im obigen Abschnitt des Kettenbruchs ist die . Das ist der Grund, warum eine derart gute Approximation für darstellt.

In Umkehrung dieser Argumentation folgt nun, dass die Approximation besonders schlecht ist, wenn die Zahl vor dem Pluszeichen besonders klein ist. Die kleinste zulässige Zahl dort ist aber die . Der Kettenbruch, der ausschließlich Einsen enthält, lässt sich daher besonders schlecht durch rationale Zahlen approximieren und ist in diesem Sinn die „irrationalste aller Zahlen“.

Für die Goldene Zahl gilt nun aber (siehe oben), woraus sich durch wiederholte Anwendung ergibt

Da die Kettenbruchentwicklung der Goldenen Zahl also nur Einsen enthält, gehört sie zu den Zahlen, die besonders schlecht rational approximierbar sind. Bricht ihre Kettenbruchentwicklung an irgendeiner Stelle ab, so wird stets ein Bruch aus zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen erhalten.[32]

Eine weitere kuriose Bezeichnung ist die folgende: In der Theorie der dynamischen Systeme werden Zahlen, deren unendliche Kettenbruchdarstellung ab irgendeiner Stelle nur noch Einsen enthält, als „noble Zahlen“ bezeichnet. In diesem Kontext wird der Goldene Schnitt manchmal als „nobelste“ aller noblen Zahlen bezeichnet.[33]

Aus algebraisch-zahlentheorischer Sicht

Der Goldene Schnitt ist als Nullstelle des Polynoms eine algebraische Zahl. Weil das Polynom normiert ist und alle Koeffizienten ganzzahlig sind, ist der Goldene Schnitt sogar ganz. Es sei , dann ist eine Körpererweiterung von Grad 2. Damit ist ein quadratischer Zahlkörper. Es ist der reell-quadratische Zahlkörper kleinster Diskriminante, nämlich 5 (der reell-quadratische Zahlkörper mit nächstgrößerer Diskriminante ist mit Diskriminante 8).[34] Es sei der zugehörige Ganzheitsring. Weil ganz ist, gilt , aber mehr als das: Wegen

ist der Goldene Schnitt sogar Einheit des Ganzheitsrings . Sein multiplikativ Inverses ist . Dies lässt sich algebraisch allein durch Kenntnis des Minimalpolynoms zeigen:

Jedoch ist der Goldene Schnitt nicht nur eine Einheit des Ganzheitsrings , sondern sogar Fundamentaleinheit des Ganzheitsrings. Das bedeutet, jedes Element aus ist von der Form mit . Darüber hinaus bilden eine -Basis von .[35] Das heißt, jedes Element aus lässt sich eindeutig als mit schreiben. Es bildet auch eine -Basis von . Dabei ist .

Weitere algebraische und analytische Eigenschaften 

Kettenwurzel

Aus lässt sich folgende unendliche Kettenwurzel herleiten:[* 1][* 2]

Setzt man also und mit , so gilt

Hinsichtlich der Konvergenzgeschwindigkeit gilt

wobei . Es gilt die exakte Formel

Sie kann auch implizit charakterisiert werden. Es bezeichne die für analytische Funktion, so dass die Differentialgleichung

sowie und erfüllt ist. Dann gilt .[* 3]

Rekursionen

Es gilt (wobei die -te Fibonacci-Zahl ist).

Einen kurzen Beweis dieses Zusammenhangs liefert die direkte Darstellung der Fibonacci-Zahlen unter Nutzung von :

, da herausfällt;

die erste Behauptung entsteht nach Division durch . – Beim analogen Nachweis der zweiten Behauptung fällt heraus.

Anwendung des binomischen Lehrsatzes auf den Zusammenhang ergibt:

Trigonometrische und Hyperbolische Funktionen

Aus der Trigonometrie folgt unter anderem[* 2]

und

sowie

Es ist der volle Spitzwinkel und die Hälfte des stumpfen Außenwinkels des Pentagramms. Gelegentlich wird die Rolle des Goldenen Schnitts für das Fünfeck als vergleichbar bedeutend bezeichnet wie die der Kreiszahl für den Kreis.

Der Goldene Schnitt lässt sich mit Hilfe der eulerschen Zahl und der hyperbolischen Areasinus-Funktion ausdrücken:

Unendliche Reihen

Einsetzen von in die für gültige geometrische Reihenformel ergibt:

.

Es gilt zudem[* 2]

Eine schnell konvergente Reihe beinhaltet die Fibonacci-Folge:

Weitere Kettenbrüche

Es gilt[* 4]

Setzt man für

so hat man allgemeiner für mit

sowie

Diese Entdeckungen gehen auf Srinivasa Ramanujan zurück. Die Funktion wird auch als Rogers-Ramanujan-Kettenbruch bezeichnet und hat Verbindungen zur Theorie der Modulformen.[* 5]

Einzelnachweise für diesen Abschnitt

  1. Kettenwurzel als Näherung für den Goldenen Schnitt. Landesbildungsserver Baden-Württemberg, 19. Juni 2022, abgerufen am 2. Oktober 2022.
  2. a b c S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 7.
  3. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 8.
  4. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 7–8.
  5. Bruce Berndt: Ramanujan's Notebook Part III, Springer, S. 83–84.

Geometrische Aussagen

Konstruktionsverfahren

Als Konstruktionsverfahren werden nach den Postulaten des Euklid nur diejenigen Verfahren akzeptiert, die sich auf die Verwendung von Zirkel und Lineal (ohne Skala) beschränken. Für die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes gibt es eine Fülle derartiger Verfahren, von denen im Folgenden exemplarisch nur einige erwähnt werden. Unterschieden wird dabei eine innere und äußere Teilung. Bei der äußeren Teilung wird der in der Verlängerung der Ausgangsstrecke außen liegende Punkt gesucht, der die vorhandene Strecke zum (größeren) Teil des Goldenen Schnittes macht. Der Goldene Schnitt stellt dabei einen Spezialfall der harmonischen Teilung dar. Aufgeführt werden im Folgenden auch zwei moderne, von Künstlern gefundene Konstruktionen.

Innere Teilung

Klassische innere Teilung
Klassisches Verfahren mit innerer Teilung, das wegen seiner Einfachheit beliebt ist:
  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt B eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verbindung AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Innere Teilung: Verfahren nach Euklid Innere Teilung nach Euklid:
Goldener Schnitt, innere Teilung nach Euklid

Johann Friedrich Lorenz beschrieb im Jahr 1781 in seinem Buch Euklids Elemente folgende Aufgabenstellung von Euklid: „Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden, daß das Rectangel aus der Ganzen und Einem der Abschnitte, dem Quadrat des anderen Abschnitts gleich sey.[36]

Das Ergebnis der nebenstehenden Animation zeigt, die Strecke AB ist in einem Verhältnis geteilt, das als Goldener Schnitt mit innerer Teilung bezeichnet wird.

Als Darstellung dieses Verfahrens hat sich eine vereinfachte Konstruktion, siehe linkes Bild, bewährt:

  1. Errichte auf der Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C.
  2. Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D.
  3. Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Konstruktion nach Hofstetter Konstruktion nach dem österreichischen Künstler Kurt Hofstetter, die dieser 2005 im Forum Geometricorum[37] publizierte:
  1. Halbiere die Strecke AB in M durch Streckensymmetrale mit Radius AB und konstruiere dabei ein gleichseitiges Dreieck ABC mit der Seitenlänge AB und C unterhalb von AB.
  2. Konstruiere ein gleichschenkliges Dreieck MBD mit Schenkellänge AB über der Grundlinie MB
  3. Die Strecke CD teilt im Punkt S die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Äußere Teilung

Äußere Teilung Klassisches Verfahren mit äußerer Teilung:
  1. Errichte auf der Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C.
  2. Konstruiere die Mitte M der Strecke AS.
  3. Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Dieses Verfahren wird für die Konstruktion des Fünfecks bei gegebener Seitenlänge verwendet.

Konstruktion nach Odom Konstruktion nach dem amerikanischen Künstler George Odom, die dieser 1982 entdeckte:
  1. Konstruiere ein gleichseitiges Dreieck.
  2. Konstruiere den Umkreis, also den Kreis, der durch alle Ecken des Dreiecks verläuft.
  3. Halbiere zwei Seiten des Dreiecks in den Punkten A und S.
  4. Die Verlängerung von AS schneidet den Kreis im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes.

Im Fünfeck und im Pentagramm

Goldener Schnitt im Fünfeck und Pentagramm

Regelmäßiges Fünfeck und Pentagramm bilden jeweils eine Grundfigur, in der das Verhältnis des Goldenen Schnittes wiederholt auftritt. Die Seite eines regelmäßigen Fünfecks befindet sich im Goldenen Schnitt zu seinen Diagonalen. Die Diagonalen untereinander wiederum teilen sich ebenfalls im Goldenen Verhältnis, d. h., verhält sich zu wie zu . Der Beweis dazu nutzt die Ähnlichkeit geeignet gewählter Dreiecke.[38]

Das Pentagramm, eines der ältesten magischen Symbole der Kulturgeschichte, steht in einer besonders engen Beziehung zum Goldenen Schnitt. Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnittes steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Sie lassen sich über das oben beschriebene Verfahren der stetigen Teilung nacheinander erzeugen. Im Prinzip ist es damit in das verkleinerte Pentagramm fortsetzbar, das in das innere Fünfeck gezeichnet werden könnte, und damit in alle weiteren. Stünden die beiden Strecken in einem Verhältnis ganzer Zahlen, müsste dieses Verfahren der fortgesetzten Subtraktion irgendwann Null ergeben und damit abbrechen. Die Betrachtung des Pentagramms zeigt aber anschaulich, dass das nicht der Fall ist. Eine Weiterentwicklung dieser Geometrie findet sich bei der Penrose-Parkettierung.

Für den Beweis, dass es sich um den Goldenen Schnitt handelt, beachte man, dass neben den vielen Strecken, die aus offensichtlichen Symmetriegründen gleich lang sind, auch gilt. Ursache ist, dass das Dreieck zwei gleiche Winkel besitzt, wie durch Parallelverschiebung der Strecke erkannt werden kann, und daher gleichschenklig ist. Nach dem Strahlensatz gilt:

Wird ersetzt und die Gleichheit der auftretenden Teilstücke beachtet, so wird genau die obige Definitionsgleichung für den Goldenen Schnitt erhalten.

Im Ikosaeder

Die 3 Goldenen Rechtecke (hellgrün, grün, lila) bilden mit ihren jeweils 4 Ecken die 12 Ecken (9 hier sichtbar) eines Ikosaeders

Die 12 Ecken des Ikosaeders bilden die Ecken von 3 gleich großen, senkrecht aufeinanderstehenden Rechtecken mit gemeinsamem Mittelpunkt und mit den Seitenverhältnissen des Goldenen Schnittes. Diese Anordnung der 3 Rechtecke wird auch Goldener-Schnitt-Stuhl genannt. Weil der Ikosaeder zum Pentagondodekaeder dual ist, bilden die 12 Mittelpunkte der Fünfecke ebenfalls die Ecken eines Goldener-Schnitt-Stuhls.

Goldenes Rechteck und Goldenes Dreieck

Ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis dem Goldenen Schnitt entspricht, wird als Goldenes Rechteck benannt; ebenso heißt ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem zwei Seiten in diesem Verhältnis stehen, Goldenes Dreieck.

Goldener Winkel

Der Goldene Winkel ist der kleinere Kreiswinkel dessen Verhältnis zum größeren Winkel () dem Goldenen Schnitt entspricht.
Blattstand einer Pflanze mit einem Blattabstand nach dem Goldenen Winkel

Der Goldene Winkel wird erhalten, wenn der Vollwinkel im Goldenen Schnitt geteilt wird. Dies führt auf den überstumpfen Winkel Gewöhnlich wird aber seine Ergänzung zum Vollwinkel, als Goldener Winkel bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass Drehungen um keine Rolle spielen und das Vorzeichen nur den Drehsinn des Winkels bezeichnet.

Durch wiederholte Drehung um den Goldenen Winkel entstehen immer wieder neue Positionen, etwa – wie im Bild – für die Blattansätze (Näheres im Abschnitt Biologie).

Dabei zerlegen die ersten Positionen den Kreis in Ausschnitte. Diese Ausschnitte haben höchstens drei verschiedene Winkel. Im Fall einer Fibonacci-Zahl treten nur zwei Winkel auf. Für tritt der Winkel hinzu.[39]

Betrachtet man für wachsendes fortfolgend die sich verfeinernden Zerlegungen des Kreises, so teilt die -te Position stets einen der verbliebenen größten Ausschnitte, und zwar immer den im Verlauf der Teilungen zuerst entstandenen, d. h. den „ältesten“ Ausschnitt. Diese Teilung erfolgt im Goldenen Verhältnis, sodass, im Uhrzeigersinn gesehen, ein Winkel mit geradem vor einem Winkel mit ungeradem liegt.[40]

Wenn wir den Ausschnitt mit dem Winkel mit bezeichnen, so erhalten wir nacheinander die Kreiszerlegungen
usw.

Goldene Spirale

Die Goldene Spirale ist ein Sonderfall der logarithmischen Spirale. Diese Spirale lässt sich mittels rekursiver Teilung eines Goldenen Rechtecks in je ein Quadrat und ein weiteres, kleineres Goldenes Rechteck konstruieren (siehe nebenstehendes Bild). Sie wird oft durch eine Folge von Viertelkreisen approximiert. Ihr Radius ändert sich bei jeder 90°-Drehung um den Faktor .[41]

Goldene Spiralen lassen sich für unter Verwendung von Polarkoordinaten durch

parametrisieren, mit der Steigung .

Geometrisches Mittel

Geometrisches Mittel:
teilt die Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnittes:
und

Die Goldene Spirale ist unter den logarithmischen Spiralen durch die folgende Eigenschaft ausgezeichnet. Seien vier auf der Spirale aufeinanderfolgende Schnittpunkte mit einer Geraden durch das Zentrum. Dann sind die beiden Punktepaare und harmonisch konjugiert, d. h., für ihr Doppelverhältnis gilt[42]

Wird die Strecke in ihrer Länge als reelle Zahl interpretiert, und die Teilung durch den Goldenen Schnitt im Punkt in die beiden Teilstrecken und als Zerlegung dieser Zahl in zwei Summanden und , so ist das geometrische Mittel der Zahlen und . Das folgt aus der allgemeinen Definition des geometrischen Mittels , hier: . In der Tat folgt mit bereits

Des Weiteren folgt daraus unmittelbar, dass wiederum das geometrische Mittel von und ist.[43] Man hat in diesem Fall

Vorkommen in der Natur

Biologie

Anordnung von Blättern im Abstand des Goldenen Winkels von oben betrachtet.

Das spektakulärste Beispiel für Verhältnisse des Goldenen Schnittes in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen.[44] Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn die beiden Blattansätze durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung gebracht werden. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°.

Die daraus entstehenden Strukturen werden auch als selbstähnlich bezeichnet: Auf diese Weise findet sich ein Muster einer tieferen Strukturebene in höheren Ebenen wieder. Beispiele sind die Sonnenblume,[45] Kohlarten, Kiefernnadeln an jungen Ästen, Zapfen,[46] Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten sowie die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen.

Ursache ist das Bestreben dieser Pflanzen, ihre Blätter auf Abstand zu halten. Es wird vermutet, dass sie dazu an jedem Blattansatz einen besonderen Wachstumshemmer (Inhibitor) erzeugen, der im Pflanzenstamm – vor allem nach oben, in geringerem Umfang in seitlicher Richtung – diffundiert. Dabei bilden sich in verschiedene Richtungen bestimmte Konzentrationsgefälle aus. Das nächste Blatt entwickelt sich an einer Stelle des Umfangs, wo die Konzentration minimal ist. Dabei stellt sich ein bestimmter Winkel zum Vorgänger ein. Würde dieser Winkel den Vollkreis im Verhältnis einer rationalen Zahl teilen, dann würde dieses Blatt genau in die gleiche Richtung wachsen wie dasjenige Blätter zuvor. Der Beitrag dieses Blattes zur Konzentration des Inhibitors ist aber an dieser Stelle gerade maximal. Daher stellt sich ein Winkel mit einem Verhältnis ein, das alle rationalen Zahlen meidet. Die Zahl ist nun aber gerade die Goldene Zahl (siehe oben). Da bisher kein solcher Inhibitor isoliert werden konnte, werden auch andere Hypothesen diskutiert, wie die Steuerung dieser Vorgänge in analoger Weise durch Konzentrationsverteilungen von Nährstoffen.

Der Nutzen für die Pflanze könnte darin bestehen, dass auf diese Weise von oben einfallendes Sonnenlicht (bzw. Wasser und Luft) optimal genutzt wird,[47] eine Vermutung, die bereits Leonardo da Vinci äußerte, oder im effizienteren Transport der durch Photosynthese entstandenen Kohlenhydrate im Phloemteil der Leitbündel nach unten. Die Wurzeln von Pflanzen weisen den Goldenen Winkel weniger deutlich auf. Bei anderen Pflanzen wiederum treten Blattspiralen mit anderen Stellungswinkeln zutage. So wird bei manchen Kakteenarten ein Winkel von 99,5° beobachtet, der mit der Variante der Fibonacci-Folge 1, 3, 4, 7, 11, … korrespondiert. In Computersimulationen des Pflanzenwachstums lassen sich diese verschiedenen Verhaltensweisen durch geeignete Wahl der Diffusionskoeffizienten des Inhibitors provozieren.

Fichtenzapfen mit 5, 8 und 13 Fibonacci-Spiralen

Bei vielen nach dem Goldenen Schnitt organisierten Pflanzen bilden sich in diesem Zusammenhang so genannte Fibonacci-Spiralen aus. Spiralen dieser Art sind besonders gut zu erkennen, wenn der Blattabstand im Vergleich zum Umfang der Pflanzenachse besonders klein ist. Sie werden nicht von aufeinanderfolgenden Blättern gebildet, sondern von solchen im Abstand , wobei eine Fibonacci-Zahl ist. Solche Blätter befinden sich in enger Nachbarschaft, denn das -Fache des Goldenen Winkels ist ungefähr ein Vielfaches von 360° wegen

wobei die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu und die nächstkleinere Fibonacci-Zahl zu ist. Da jedes der Blätter zwischen diesen beiden zu einer anderen Spirale gehört, sind Spiralen zu sehen. Ist größer als , so ist das Verhältnis der beiden nächsten Fibonacci-Zahlen kleiner und umgekehrt. Daher sind in beide Richtungen Spiralen zu aufeinander folgenden Fibonaccizahlen zu sehen. Der Drehsinn der beiden Spiralentypen ist dem Zufall überlassen, sodass beide Möglichkeiten gleich häufig auftreten.

Berechneter Blütenstand mit 1000 Früchten im Goldenen Winkel – Es stellen sich 13, 21, 34 und 55 Fibonacci-Spiralen ein.
Sonnenblume mit 34 und 55 Fibonacci-Spiralen

Besonders beeindruckend sind Fibonacci-Spiralen (die damit wiederum dem Goldenen Schnitt zugeordnet sind) in Blütenständen, wie bei Sonnenblumen.[45] Dort sitzen Blüten, aus denen später Früchte entstehen, auf der stark gestauchten, scheibenförmigen Blütenstandsachse dicht nebeneinander, wobei jede einzelne Blüte einem eigenen Kreis um den Mittelpunkt des Blütenstandes zugeordnet werden kann. Wachstumstechnisch aufeinander folgende Früchte liegen daher räumlich weit auseinander, während direkte Nachbarn wieder einen Abstand entsprechend einer Fibonacci-Zahl haben. Im äußeren Bereich von Sonnenblumen werden 34 und 55 Spiralen gezählt, bei größeren Exemplaren 55 und 89 oder sogar 89 und 144. Die Abweichung vom mathematischen Goldenen Winkel, die in diesem Fall nicht überschritten wird, beträgt weniger als 0,01 %.

Der Goldene Schnitt ist außerdem in radiärsymmetrischen fünfzähligen Blüten erkennbar wie bei der Glockenblume, der Akelei und der (wilden) Hecken-Rose. Der Abstand der Spitzen von Blütenblättern nächster Nachbarn zu dem der übernächsten steht wie beim regelmäßigen Fünfeck üblich in seinem Verhältnis. Das betrifft ebenso Seesterne und andere Tiere mit fünfzähliger Symmetrie.[46]

Goldener Schnitt im Efeublatt

Darüber hinaus wird der Goldene Schnitt im Verhältnis der Längen aufeinander folgender Stängelabschnitte mancher Pflanzen vermutet wie bei der Pappel. Im Efeublatt stehen die Blattachsen a und b (siehe Abbildung) ungefähr im Verhältnis des Goldenen Schnittes. Diese Beispiele sind jedoch umstritten.

Noch im 19. Jahrhundert war die Ansicht weit verbreitet, dass der Goldene Schnitt ein göttliches Naturgesetz sei und in vielfacher Weise in den Proportionen des menschlichen Körpers realisiert wäre. So nahm Adolf Zeising in seinem Buch über die Proportionen des menschlichen Körpers[18] an, dass der Nabel die Körpergröße im Verhältnis des Goldenen Schnittes teile, und der untere Abschnitt werde durch das Knie wiederum so geteilt. Ferner scheinen die Verhältnisse benachbarter Teile der Gliedmaßen wie bei Ober- und Unterarm sowie bei den Fingerknochen ungefähr in diesem Verhältnis zu stehen. Eine genaue Überprüfung ergibt jedoch Streuungen der Verhältnisse im 20-%-Bereich. Oft enthält auch die Definition, wie die Länge eines Körperteils exakt zu bestimmen sei, eine gewisse Portion Willkür. Ferner fehlt dieser These eine wissenschaftliche Grundlage. Es dominiert daher weitgehend die Ansicht, dass diese Beobachtungen lediglich die Folge gezielter Selektion von benachbarten Paaren aus einer Menge von beliebigen Größen sind.[48]

Bahnresonanzen

Seit langem ist bekannt, dass die Umlaufzeiten mancher Planeten und Monde in Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen wie Jupiter und Saturn mit oder die Jupitermonde Io, Ganymed und Europa mit . Derartige Bahnresonanzen stabilisieren die Bahnen der Himmelskörper langfristig gegen kleinere Störungen. Erst 1964 wurde entdeckt, dass noble Verhältnisse, wie sie im Fall vorliegen würden, stabilisierend wirken können. Derartige Bahnen werden KAM-Bahnen genannt, wobei die drei Buchstaben für die Namen der Entdecker Andrei Kolmogorow, V. I. Arnold und Jürgen Moser stehen.[49][50]

Die Cassini-Teilungen in den Saturnringen zeigen, was passiert, wenn statt nobler Zahlen einfache rationale Zahlen vorherrschen: Die Gesteins- und Eisteilchen, aus denen die Ringe bestehen und deren Umlaufperioden in einem einfachen rationalen Verhältnis zu den Perioden der Saturnmonde stehen, werden durch die Resonanzeffekte zwischen den entsprechenden Umlaufperioden einfach aus ihrer Bahn geworfen. In der Tat hängt die Stabilität des Sonnensystems davon, dass zumindest einige der Bahnperiodenverhältnisse nobel sind, ab.[51]

Schwarze Löcher

Kontrahierbare kosmische Objekte ohne feste Oberfläche, wie Schwarze Löcher oder die Sonne, haben aufgrund ihrer Eigengravitation die paradoxe Eigenschaft, heißer zu werden, wenn sie Wärme abstrahlen (negative Wärmekapazität). Bei rotierenden Schwarzen Löchern findet ab einem kritischen Drehimpuls ein Umschlag von negativer zu positiver Wärmekapazität statt, wobei dieser Tipping-Point von der Masse des Schwarzen Loches abhängt. In einer -dimensionalen Raumzeit kommt dabei eine Metrik ins Spiel, deren Eigenwerte für sich als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

ergeben.[52][53]

Kristallstrukturen

Der Goldene Schnitt tritt bei den Quasikristallen der Festkörperphysik in Erscheinung, die 1984 von Dan Shechtman und seinen Kollegen entdeckt wurden.[54] Dabei handelt es sich um Strukturen mit fünfzähliger Symmetrie, aus denen sich aber, wie bereits Kepler erkannte, keine streng periodischen Kristallgitter aufbauen lassen, wie dies bei Kristallen üblich ist. Entsprechend groß war die Überraschung, als bei Röntgenstrukturanalysen Beugungsbilder mit fünfzähliger Symmetrie gefunden wurden. Diese Quasikristalle bestehen strukturell aus zwei verschiedenen rhomboedrischen Grundbausteinen, mit denen der Raum zwar lückenlos, jedoch ohne globale Periodizität gefüllt werden kann (Penrose-Parkettierung). Beide Rhomboeder setzten sich aus den gleichen rautenförmigen Seitenflächen zusammen, die jedoch unterschiedlich orientiert sind. Die Form dieser Rauten lässt sich nun dadurch definieren, dass ihre Diagonalen im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen.[55] Für die Entdeckung von Quasikristallen wurde Shechtman 2011 der Nobelpreis für Chemie verliehen.[56]

Varianten

Silberner Schnitt

Silberner Schnitt im regelmäßigen Achteck, Größenverhältnisse der Streckenteile:

Der Silberne Schnitt beschreibt das definierte Größenverhältnis zweier Abschnitte mit unterschiedlicher Größe (oder Länge) einer Strecke (oder eines Bereichs).

Ist etwas „nach dem Silbernen Schnitt geteilt“, so versteht man darunter:

Das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil ist gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil.

Es gilt also:

Er hat den Wert[57]

Ebenso wie der Goldene Schnitt ist er also eine quadratisch-irrationale Zahl. Wegen gilt[58]

Kubische Varianten

Man definiert die Perrin-Folge rekursiv durch , , , und für alle . Ähnlich wie sich die Quotienten nacheinander folgender Fibonacci-Zahlen dem Goldenen Schnitt nähern, folgt für die Perrin-Zahlen

wobei die charakteristische Gleichung erfüllt. Durch Radikale ausgedrückt ergibt sich

Ähnlich wie beim Goldenen Schnitt besitzt auch eine Entwicklung als Kettenwurzel, dieses Mal jedoch kubisch:

In Anlehnung an Goldene Konstante wird gelegentlich auch als „Plastik-Konstante“ bezeichnet.[59]

Im Falle der „Tribonacci-Folge, und für gilt

Es erfüllt die Gleichung .[60]

Vergleich mit anderen prominenten Seitenverhältnissen

Die folgende Abbildung zeigt im Vergleich verschiedene Rechtecke mit prominenten Seitenverhältnissen in der Umgebung von Angegeben ist jeweils das Verhältnis von Höhe zu Breite und der entsprechende Zahlenfaktor:

Goldener Schnitt Rechtecke Aspect ratio compare6.png

  • Φ0√4 : 30 – Traditionelles Fernsehformat und Ballenformat für Packpapier. Auch bei älteren Computermonitoren verwendet (z. B.: 1024 × 768 Pixel). Dieses Format geht zurück auf Thomas Alva Edison, der 1889 das Format des klassischen Filmbildes (35-mm-Film) auf 24 mm × 18 mm festlegte.[61]
  • Φ02 : 10 – Das Seitenverhältnis beim DIN-A4-Blatt und verwandten DIN-/EN-/ISO-Maßen. Bei einer Halbierung durch einen Schnitt, der die längeren Seiten des Rechtecks halbiert, entstehen wiederum Rechtecke mit demselben Seitenverhältnis.
  • Φ0√3 : 20 – Seitenverhältnis beim Kleinbildfilm (36 mm × 24 mm).
  • Φ√16 : 10 – Manche Computerbildschirme. Diese passen mit 1,6 : 1 fast zum Goldenen Schnitt.
  • √00Φ : 10 – Seitenverhältnis im Goldenen Schnitt. Im Bild approximiert mit 144 × 89 Pixel (theoretischer Fehler nur 5 · 10−5). Die beiden benachbarten Rechtecke 3:2 und 5:3 haben – wie auch das dargestellte Rechteck mit 144:89 – Seitenverhältnisse von aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen und approximieren daher ebenfalls den Goldenen Schnitt vergleichsweise gut.
  • Φ√05 : 30 – Findet neben vielen anderen als Kinofilmformat Verwendung.
  • Φ√16 : 90Breitbildfernsehen.

Anwendung und Wirkungsgeschichte

Seit dem 19. Jahrhundert wurde der Goldene Schnitt zunächst in der ästhetischen Theorie (Adolf Zeising) und dann auch in künstlerischer, architektonischer und kunsthandwerklicher Praxis als ein ideales Prinzip ästhetischer Proportionierung bewertet. Es gibt allerdings keinen empirischen Beleg für eine besondere ästhetische Wirkung, die von Proportionen des Goldenen Schnittes ausgeht.[62] Schon der Begründer der empirischen Ästhetik, Gustav Theodor Fechner stellte aufgrund eigener Experimente fest: „Hiernach kann ich nicht umhin, den ästhetischen Wert des Goldenen Schnittes … überschätzt zu finden.“[63]

Der Goldene Zirkel (Reduktionszirkel)

01 Goldener-Schnitt Goldener-Zirkel.gif
GoldenerZirkel.jpg

Anstatt stets neu konstruieren zu müssen, wurde im 19. Jahrhundert von Künstlern und Handwerkern ein Goldener Zirkel – ein auf das Goldene Verhältnis eingestellter Reduktionszirkel – benutzt. Zirkel, wie im nebenstehenden Foto als Beispiel gezeigt, werden auch heute noch hergestellt. Insbesondere im Schreinerhandwerk wurde ein ähnliches Instrument in Form eines Storchschnabels benutzt.[64][65]

Bereits in der Antike fand der Reduktionszirkel Verwendung, dies zeigt z. B. der Fund eines Vorläufers bei den Ausgrabungen in Pompeji.[66] Jost Bürgi (1552–1632), ein Uhrmacher aus der Schweiz, ist der Erfinder der noch heute gebräuchlichen einfachsten Ausführung. Er besteht nur aus zwei Stäben, deren Drehpunkt sie im Goldenen Schnitt teilt. Eine Seite des Werkzeugs entspricht der zu teilenden Strecke und die gegenüberliegende der Strecke .[67] Der von Adalbert Göringer im Jahre 1893 erfundene Reduktions- bzw. Proportionalzirkel – dargestellt in den nebenstehenden Bildern – ist eine Weiterentwicklung.[65]

Um als Werkzeug dienen zu können, müssen die Bauteile des Reduktionszirkels ebenfalls die Teilung nach dem Goldenen Schnitt beinhalten.[66]

Wenn

dann gilt:

Als Konstruktionselement

Von M. Johann Wentzel Kaschuben stammt die im Folgenden beschriebene und im Anschluss konstruktiv dargestellte geometrische Aufgabe aus dem Jahr 1717.

„§.34. Einen gleichschencklichten in welchem der auf einem Schenckel stehende perpendicul gegeben, so den Schenckel selbst in auf solche Arth schneidet, wie er von den übrigen perpend. Linien in geschnitten wird, kan auf folgende Weise gefunden werden. […]“

M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, oder Deutlicher Begrief der Mathematischen Wissenschaften[68]
Kaschuben nutzte 1717 das geometrische Mittel
von und sowie „diesen Schnitt den goldenen[15] als Konstruktionselement.

Gesucht ist also ein gleichschenkliges Dreieck, in dem eine gegebene Strecke sowie ein Schenkel des Dreiecks zueinander orthogonal sind und der Punkt diesen Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts teilt.

Konstruktionsbeschreibung
(Angelehnt an die Beschreibung des Originals, die darin erwähnte Fig. 7 ist auf Tab. I Alg. Fig. 8)[69]

Zuerst wird die Strecke mit der frei wählbaren Länge senkrecht auf die Gerade errichtet. Es folgt das rechtwinklige Dreieck in dem die Seite auf der Geraden liegt. Der Kreisbogen um mit Radius ergibt Schnittpunkt der Kreisbogen um mit Radius teilt in die Seite im Goldenen Schnitt. Ziehe einen Kreis um mit Radius ergibt Schnittpunkt und einen Kreisbogen um mit Radius Nun errichte eine Senkrechte auf ab bis sie den Kreisbogen in schneidet. Mit ist das geometrische Mittel der Längen der beiden Strecken und bestimmt. Ein Kreisbogen um mit Radius schneidet den Kreis um in dabei ergibt sich das rechtwinklige Dreieck Abschließend wird die Strecke bis auf die Gerade verlängert und um den soeben entstandenen Schnittpunkt ein Kreisbogen mit Radius gezogen, bis er die Gerade in schneidet.

Im somit gefundenen gleichschenkligen Dreieck teilt der Punkt der Senkrechten den Schenkel im Goldenen Schnitt.

Papier- und Bildformate

Im Buchdruck wurde gelegentlich die Nutzfläche einer Seite, der sogenannte Satzspiegel, so positioniert, dass das Verhältnis von Bundsteg zu Kopfsteg zu Außensteg zu Fußsteg sich wie verhielt. Diese Wahl von Fibonacci-Zahlen approximiert den Goldenen Schnitt. Eine solche Gestaltung wird auch weiterhin in Teilen der Fachliteratur zum Buchdruck empfohlen.[70]

Architektur

Goldenes Dreieck und Goldenes Rechteck in der Fassade der Kathedrale Notre-Dame de Paris
Altes Leipziger Rathaus nach dem Umbau 1909
Die Mitte des Haupttores schneidet die Gehäusefront im Goldenen Schnitt.

Frühe Hinweise auf eine Verwendung des Goldenen Schnittes stammen aus der Architektur. Die Schriften des griechischen Geschichtsschreibers Herodot zur Cheops-Pyramide werden gelegentlich dahingehend ausgelegt, dass die Höhe der Seitenfläche zur Hälfte der Basiskante im Verhältnis des Goldenen Schnittes stünde.[71] Die entsprechende Textstelle ist allerdings interpretierbar. Andererseits wird die These vertreten, dass das Verhältnis für Pyramidenhöhe zu Basiskante die tatsächlichen Maße noch besser widerspiegele. Der Unterschied zwischen beiden vertretenen Thesen beträgt zwar lediglich 3,0 %, ein absoluter Beweis zugunsten der einen oder anderen These ist demzufolge damit aber nicht verbunden.

Viele Werke der griechischen Antike werden als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen wie die Vorderfront des 447–432 v. Chr. unter Perikles erbauten Parthenon-Tempels auf der Athener Akropolis.[72] Da zu diesen Werken keine Pläne überliefert sind, ist nicht bekannt, ob diese Proportionen bewusst oder intuitiv gewählt wurden. In späteren Epochen sind mögliche Beispiele für den Goldenen Schnitt, wie der Dom von Florenz,[73] Notre Dame in Paris[74][75] oder die Torhalle in Lorsch (770 n. Chr.)[72] zu finden. Auch in diesen Fällen ist die bewusste Anwendung des Goldenen Schnittes anhand der historischen Quellen nicht nachweisbar.

Es gibt demzufolge keinen empirisch gesicherten Nachweis für eine signifikant größere Häufigkeit des Goldenen Schnittes in diesen Epochen im Vergleich zu anderen Teilungsverhältnissen. Ebenso fehlen historische Belege für eine absichtliche Verwendung des Goldenen Schnittes.

Als ein Beispiel für eine Umsetzung des Goldenen Schnittes wird immer wieder das Alte Rathaus in Leipzig, ein Renaissancebau aus den Jahren 1556/57, genannt.[76] Wobei nicht die Mitte des Rathausturmes die Gehäusefront im Goldenen Schnitt teilt, sondern die dazu etwas versetzte Mitte des Haupttores. Gleichwohl gibt es bei genauer historischer Quellenforschung keinen Beleg dafür. Insbesondere gibt es keinen Beleg dafür, dass Hieronymus Lotter als der damalige Baumeister den Goldenen Schnitt bewusst als Konstruktionsprinzip verwendet hat: Alle originären Quellen verweisen lediglich auf einen gotischen Vorgängerbau, auf dessen Grundmauern Lotter das Rathaus errichtet hat. Dass der Goldene Schnitt hier eine Rolle gespielt habe, ist quellenhistorisch nicht belegbar.

Die erste quellenhistorisch gesicherte Verwendung des Goldenen Schnittes in der Architektur stammt aus dem 20. Jahrhundert: Der Architekt und Maler Le Corbusier (1887–1965) entwickelte ab 1940 ein Längen-Maßsystem, dessen Maßeinheiten zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen. Die Werte der darin enthaltenen kleineren Maßeinheiten sind Durchschnitts-Maße am menschlichen Körper. Er veröffentlichte dieses 1949 in seiner Schrift Der Modulor, die zu den bedeutendsten Schriften der Architekturgeschichte und -theorie gezählt wird. Bereits 1934 wurde ihm für die Anwendung mathematischer Ordnungsprinzipien von der Universität Zürich der Titel doctor honoris causa der mathematischen Wissenschaften verliehen.[77] Für eine frühere Verwendung des Modulor ist dies jedoch aus den aufgezeigten Gründen kein Beleg.

Bildende Kunst

Bildkomposition

Mona Lisa Goldener Schnitt.png
Abbildung 1
Mona Lisa Goldene Spirale.png
Abbildung 2


Merkmale des Goldenen Schnitts

Inwieweit die Verwendung des Goldenen Schnittes in der Kunst zu besonders ästhetischen Ergebnissen führt, ist letztlich eine Frage der jeweils herrschenden Kunstauffassung. Für die generelle These, dass diese Proportion als besonders ansprechend und harmonisch empfunden wird, gibt es keine gesicherten Belege. Viele Künstler setzten den Goldenen Schnitt bewusst ein, bei vielen Werken wurden Kunsthistoriker erst im Nachhinein fündig. Diese Befunde sind jedoch angesichts der Fülle von möglichen Strukturen, wie sie in einem reich strukturierten Gemälde zu finden sind, oft umstritten.[78]

So werden zahlreichen Skulpturen griechischer Bildhauer, wie der Apollo von Belvedere, der Leochares (um 325 v. Chr.) zugeschrieben wird, oder Werke von Phidias (5. Jahrhundert v. Chr.) als Beispiele für die Verwendung des Goldenen Schnittes angesehen. Auf letzteren bezieht sich die oft übliche Bezeichnung für den Goldenen Schnitt, die von dem amerikanischen Mathematiker Mark Barr eingeführt wurde. Die ebenfalls gelegentlich verwendete Bezeichnung bezieht sich dagegen auf das griechische Wort τομή für „Schnitt“.[79]

Der Goldene Schnitt wird in vielen Werken der Renaissance-Künstler vermutet, unter anderem bei Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer, bei Dürers Werken insbesondere in seinem Selbstbildnis von 1500 und seinem Kupferstich Melencolia I von 1514.[80] Ein berühmtes Beispiel ist das Gemälde Mona Lisa von Leonardo da Vinci. Es weist Merkmale des Goldenen Schnitts auf und lässt mehrere Goldene Dreiecke sowie die Goldene Spirale erkennen. In Abbildung 1 teilt der Punkt (Mona Lisas linkes Auge) die Strecken und im Goldenen Schnitt. Die Dreiecke , , , , und sind Goldene Dreiecke, da bei jedem dieser sechs Dreiecke Grundseite und Schenkel im Verhältnis des Goldenen Schnitts zueinander stehen.[81][82] In Abbildung 2 ist die Goldene Spirale eingezeichnet. Sie ist so positioniert, dass sie am linken Handgelenk beginnt und den oberen Rand des Kopfes berührt. Die Nasenspitze bildet dann den Punkt, auf den die Spirale zuläuft.[83][84]

In der Fotografie wird der Goldene Schnitt zur Bildgestaltung eingesetzt. Als Faustformel wird die Drittel-Regel verwendet.[85][86]

Zeitgenössische bildende Kunst

Goldener Schnitt von Martina Schettina (2009)

In der zeitgenössischen bildenden Kunst wird der Goldene Schnitt nicht nur als Gestaltungsmerkmal verwendet, sondern ist in manchen Arbeiten selbst Thema oder zentraler Bildinhalt. Der Künstler Jo Niemeyer verwendet den Goldenen Schnitt als grundlegendes Gestaltungsprinzip in seinen Werken, die der konkreten Kunst zugeordnet werden. Der Künstler Ivo Ringe, der ebenso ein Vertreter der konkreten Kunst ist, nutzt den Goldenen Schnitt in vielen seiner Werke.[87] Die Künstlerin Martina Schettina thematisiert den Goldenen Schnitt in ihren Arbeiten zum Fünfeck, bei dem die Diagonalen einander im Goldenen Schnitt teilen.[88] Sie visualisiert auch die Konstruktionsmethode und Formeln zum Goldenen Schnitt.[89]

Akustik und Musik

Komposition

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich in Strukturkonzepten von Musikstücken vermutet. So hat der ungarische Musikwissenschaftler Ernő Lendvai versucht, den Goldenen Schnitt als wesentliches Gestaltungsprinzip der Werke Béla Bartóks nachzuweisen. Seiner Ansicht nach hat Bartók den Aufbau seiner Kompositionen so gestaltet, dass die Anzahl der Takte in einzelnen Formabschnitten Verhältnisse bilden, die den Goldenen Schnitt approximieren würden. Allerdings sind seine Berechnungen umstritten.[90]

In der Musik nach 1945 finden sich Beispiele für die bewusste Proportionierung nach den Zahlen der Fibonacci-Folge, etwa im Klavierstück IX von Karlheinz Stockhausen oder in der Spektralmusik von Gérard Grisey.[91]

Instrumentenbau

Der Goldene Schnitt wird gelegentlich im Musikinstrumentenbau verwendet. Insbesondere beim Geigenbau soll er für besonders klangschöne Instrumente bürgen. So wird behauptet, dass der berühmte Geigenbauer Stradivari den Goldenen Schnitt verwendete, um die klanglich optimale Position der F-Löcher für seine Violinen zu berechnen. Diese Behauptungen basieren jedoch lediglich auf nachträglichen numerischen Analysen von Stradivaris Instrumenten. Ein Nachweis, dass Stradivari bewusst den Goldenen Schnitt zur Bestimmung ihrer Proportionen angewandt habe, existiert jedoch nicht.[92][93]

Informatik

Datenstrukturen

In der Informatik werden Daten in Hashtabellen gespeichert, um darauf schnell zuzugreifen. Die Position , an der ein Datensatz in der Tabelle gespeichert wird, berechnet sich durch eine Hashfunktion . Für einen effizienten Zugriff müssen die Datensätze möglichst gleichmäßig verteilt in die Tabelle geschrieben werden. Eine Variante für die Hashfunktion ist die multiplikative Methode, bei der die Hashwerte für eine Tabelle der Größe nach der folgenden Formel berechnet werden:

Dabei stellen Gaußklammern dar, die den Klammerinhalt auf die nächste ganze Zahl abrunden. Der Informatiker Donald E. Knuth schlägt für die frei wählbare Konstante vor, um eine gute Verteilung der Datensätze zu erhalten.[94]

Verfahren des Goldenen Schnittes

Das Verfahren des Goldenen Schnittes (auch: Goldener-Schnitt-Verfahren,[95] Methode des Goldenen Schnittes oder Suchverfahren Goldener Schnitt) ist ein Verfahren der mathematischen nichtlinearen Optimierung, genauer berechnet es algorithmisch eine numerische Näherung für eine Extremstelle (Minimum oder Maximum) einer reellen Funktion einer Variablen in einem Suchintervall . Es basiert auf der analytischen Anwendung der ursprünglich geometrisch definierten stetigen Teilung. Im Gegensatz zum Intervallhalbierungsverfahren wird dabei das Suchintervall nicht bei jedem Schritt halbiert, sondern nach dem Prinzip des Goldenen Schnittes verkleinert.

Der verwendete Parameter (tau) hat dabei nicht, wie bei dem Bisektionsverfahren, den Wert , sondern es wird gewählt, sodass sich zwei Punkte und für das Optimierungsverfahren ergeben, die das Suchintervall im Goldenen Schnitt teilen.[96]

Wird angenommen, dass jeder Punkt in jedem Intervall mit gleicher Wahrscheinlichkeit Extrempunkt sein kann, führt dies bei Unbestimmtheitsintervallen dazu, dass das Verfahren des Goldenen Schnittes um 14 % effektiver ist als die Intervallhalbierungsmethode. Im Vergleich zu diesem und weiteren sequentiellen Verfahren ist es – mathematisch gesehen – das für allgemeine Funktionen effektivste Verfahren; nur im Fall differenzierbarer Funktionen ist es der direkten mathematischen Lösung unterlegen.[97] Dass sich dieses Verfahren in der manuellen Rechnung nicht durchgesetzt hat, liegt vor allem an den notwendigen Wurzelberechnungen für die einzelnen Zwischenschritte.

Auffälligkeit

Eine weitere Verbindung zwischen der Informationstheorie und dem Goldenen Schnitt wurde durch Helmar Frank mit der Definition der Auffälligkeit hergestellt. Er konnte zeigen, dass der mathematische Wert des Maximums der Auffälligkeit sehr nah an das Verhältnis des Goldenen Schnitts herankommt.[98]

Siehe auch

Literatur

Historische Literatur

  • Luca Pacioli; Constantin Winterberg (Hrsg. und Übers.): De divina proportione. Venedig 1509. Carl Graeser, Wien 1889 (im Internet-Archiv: Online, bei alo: literature.at/alo)
  • Adolf Zeising: Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers. Rudolph Weigel, Leipzig 1854; archive.org.
  • Adolf Zeising: Das Normalverhältniss der chemischen und morphologischen Proportionen. Rudolph Weigel, Leipzig 1856; archive.org.
  • Gustav Theodor Fechner: Zur experimentalen Ästhetik. Hirzel, Leipzig 1871.

Neuere Literatur

  • Lieselotte Kugler; Oliver Götze (Hrsgg.): Göttlich Golden Genial. Weltformel Goldener Schnitt?. Hirmer, München 2016, ISBN 978-3-7774-2689-1, →siehe hierzu: Portal Kunstgeschichte
  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996, ISBN 3-86025-404-9.
  • Priya Hemenway: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science. Sterling, New York 2005, ISBN 1-4027-3522-7. (Priya Hemenway: Der Geheime Code: Die rätselhafte Formel, die Kunst, Natur und Wissenschaft bestimmt. Taschen Verlag, Köln 2008, ISBN 978-3-8365-0708-0.)
  • Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, New York 1998, ISBN 0-486-40007-7.
  • Jürgen Fredel: Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt. Lit, Hamburg 1998, ISBN 3-8258-3408-5.
  • Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. Aufstieg und Fall der göttlichen Proportion. Frommann-Holzboog, Stuttgart 2005, ISBN 3-7728-2218-5.
    Susanne Deicher: Rezension von: Albert van der Schoot: Die Geschichte des goldenen Schnitts. In: sehepunkte 5, 15. Dezember 2005, Nr. 12, Weblink.
  • Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Teubner, Stuttgart 1993, ISBN 3-8154-2511-5.
  • Georg Markowsky: Misconceptions about the Golden Mean. (PDF; 2,1 MB) In: The College Mathematics Journal, Band 23, Ausgabe 1, Januar 1992.
  • Clement Falbo: The Golden Ratio: A Contrary Viewpoint. (PDF; 625 kB) In: The College Mathematics Journal, Band 36, Ausgabe 2, März 2005.

Weblinks

Deutsch

Englisch

Einzelnachweise

  1. Bronstein, Semendjajew, et al.: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, S. 198.
  2. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 5–6.
  3. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonThe Golden ratio. In: MacTutor History of Mathematics archive.
  4. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 10, 15
  5. Rudolf Haller: Elemente des Euklid. Edition Opera Platonis 2010, Buch II, Satz 11 (PDF; 209 kB).
  6. Leonardo da Pisa: Liber abbaci. (Cap. I, 7, dort unter anderen Aufgaben: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur), hrsg. von Baldassare Boncompagni, Scritti di Leonardo Pisano matematico del secolo decimoterzo. Band I, Tipografia delle scienze matematiche e fisiche, Rom 1857, S. 283 f., Wiedergabe der Handschrift Florenz, Cod. magliabechiano cs cI, 2626, fol. 123v–124r, bei Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2. überarb. und erw. Ausg., Mannheim u. a.: BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, nach S. 252; Wiedergabe des lateinischen Textes der Kaninchenaufgabe u. a. bei Bernd Thaller: Leonardo und der Goldene Schnitt. (PDF; 3,0 MB) 30. Juni 2017.
  7. Formalisierte Wiedergabe nach Heinz Lüneburg: Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. 2. überarb. und erw. Ausg., Mannheim u. a.: BI Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15462-4, S. 298.
  8. Leonardo da Pisa: Liber abbaci. Cap. 15, ed. Boncompagni S. 438, zu finden schon in der Wiedergabe von cap. 15 bei Guillaume Libri: Histoire des sciences mathématiques in Italie. Band II, Paris: Jules Renouard et C.ie, 1838, S. 430 (Auszug in der Google-Buchsuche)
  9. Leonard Curchin, Roger Herz-Fischler: De quand date le premier rapprochement entre la suite de Fibonacci et la division en extrême et moyenne raison? (PDF) In: Centaurus. Roger Herz-Fischler, 1985, abgerufen am 3. Oktober 2022.
  10. Roger Herz-Fischler: A mathematical History of the Golden Ratio. Dover Publications, Minneola (New York) 1998, S. 158 (Section 31.J.iii).
  11. Allgemeine deutsche Real-Enzyklopädie für die gebildeten Stände. In zehn Bänden. Vierter Band (G und H). Fünfte Original-Ausgabe, F. A. Brockhaus, Leipzig 1819, S. 296.
  12. Otfried Lieberknecht: First occurrence of the term "Goldener Schnitt"/"sectio aurea". (PDF) E-Mail Korrespondenz. Herz-Fischler, 8. Mai 2012, S. 1, abgerufen am 1. Oktober 2022.
  13. Otfried Lieberknecht: First occurrence of the term "Goldener Schnitt"/"sectio aurea". (PDF) E-Mail Korrespondenz. Herz-Fischler, 19. Mai 2018, S. 1–4, abgerufen am 1. Oktober 2022.
  14. M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, Oder Deutlicher Begrief Der Mathematischen Wissenschaften. Bey J. F. Bielcken, 1717, S. 2, abgerufen am 15. April 2020.
  15. a b M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, Oder Deutlicher Begrief Der Mathematischen Wissenschaften. Bey J. F. Bielcken, 1717, S. 566, abgerufen am 15. April 2020.
  16. a b Ernst Florens Friedrich Chladni: Die Akustik. Leipzig, Breitkopf und Härtel 1802 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche), S. 33, abgerufen am 1. Oktober 2022
  17. Adolf Zeising, Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, […], Leipzig, Verlag, Rudolph Weigel. 1854 S. 159, abgerufen am 18. Oktober 2022
  18. a b Adolf Zeising, Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, […], Leipzig, Verlag, Rudolph Weigel. 1854 S. 163, abgerufen am 3. Oktober 2022
  19. Gustav Theodor Fechner: Vorschule der aesthetik. Breitkopf & Härtel, 1876, S. 190.
  20. Camillo Sitte: Über den praktischen Wert der Lehre vom Goldenen Schnitt. In: Camillo Sitte: Schriften zu Kunsttheorie und Kunstgeschichte. Böhlau 2010, ISBN 978-3-205-78458-6, S. 435–446, bes. 438–439 (Auszug (Google)).
  21. Underwood Dudley: Die Macht der Zahl: Was die Numerologie uns weismachen will. Gabler 1999, ISBN 3-7643-5978-1, S. 243–245 (Auszug (Google)).
  22. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 6.
  23. Herbert Henning, Christian Hartfeldt: 16 Die Fibonacci-Zahlen. (PDF) Goldener Schnitt in der Mathematik. Universität Magdeburg, 2003, S. 19, abgerufen am 4. Oktober 2022.
  24. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 87–91
  25. Manfred Schroeder: Number Theory in Science and Communication, 5. Auflage, Springer, S. 91.
  26. Manfred Schroeder: Number Theory in Science and Communication, 5. Auflage, Springer, S. 84.
  27. Ben Green: Irrational and Transcendental Numbers. In: Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader: The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press 2008, ISBN 978-0-691-11880-2, S. 222 (Auszug (Google)).
  28. Peter Berger: Der goldene Schnitt. (PDF) S. 14, abgerufen am 28. August 2022.
  29. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 101
  30. Die hier auftretende Abweichung ist ungefähr 16-mal kleiner als die durch den Dirichletschen Approximationssatz garantierte (nämlich ). Bei der Näherung von durch ist die Abweichung dagegen nur 2,2-mal kleiner als .
  31. a) Serge Lang: Introduction to Diophantine Approximations. Springer-Verlag 1995, S. 9.
    b) Ivan Niven, Herbert S. Zuckermann, Hugh L. Montgomery: An Introduction to the Theory of Numbers. Wiley, 1960, 5. Auflage 1991, ISBN 0-471-54600-3, S. 338 (Theorem 7.13).
    Zu beachten ist aber: Dieser Satz schließt nicht aus, dass es außer diesen Brüchen noch weitere beste Approximationen gibt. Zum Beispiel approximiert die Zahl besser als 3 und approximiert besser als .
  32. Golden ratio. Encyclopedia of Mathematics.
  33. Manfred Schroeder: Number Theory in Science and Communication, 5. Auflage, Springer, S. 79.
  34. Frazer Jarvis: Algebraic Number Theory, Springer, S. 131.
  35. Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, 1992, S. 16.
  36. Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Halle 1781, S. 31 ff. (Euklids Elemente, Zweytes Buch, Der 11. Satz. Eine gegebne gerade Linie, AB, so zu schneiden … [abgerufen am 19. Dezember 2016]).
  37. Forum Geometricorum Volume 5 (2005) 135–136. (PDF; 26 kB).
  38. J.-H Eschenburg: 2. Der Goldene Schnitt. (PDF) Die Zahl Fünf und die Quasikristalle. Universität Augsburg, 7. Mai 2004, S. 2, abgerufen am 9. Oktober 2022.
  39. Stanisław Świerczkowski: On successive settings of an arc on the circumference of a circle. In: Fundamenta Mathematicae. 46.2, 1958, S. 187–189.
  40. Tony van Ravenstein: Optimal Spacing of Points on a Circle. In: The Fibonacci Quaterly. 27, 1989, S. 18–24, mathstat.dal.ca (PDF; 1,6 MB).
  41. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 157–161
  42. Forum Geometricorum Volume 16 (2016) 429–430 (PDF).
  43. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 20. Auflage, Gemeinschaftsauflage Verlag Nauka Moskau und BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1981, S. 167.
  44. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 124
  45. a b Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 123
  46. a b Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 128.
  47. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 125
  48. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 130–133
  49. Siehe Dvorak/Freistetter/Kurths: Chaos and stability in planetary systems. (Springer Lecture Notes in Physics, 2006), S. 118–121 und den Wikipedia-Artikel über noble Zahlen.
  50. Remo Badii, A. Politi: Complexity: Hierarchical Structures and Scaling in Physics. Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-66385-7, S. 46 (Auszug (Google)).
  51. Manfred Schroeder: Number Theory in Science and Communication, 5. Auflage, Springer, S. 80.
  52. Marcus Chown: The golden rule – It links art, music and even architecture. Marcus Chown on an enigmatic number. The Guardian, 16. Januar 2003, abgerufen am 31. Dezember 2013.
  53. J. A. Nieto: A Link Between Black Holes and the Golden Ratio. In: Cornell University. 2. Juni 2011. arxiv:1106.1600.
  54. D. Shechtman, I. Blech, D. Gratias, J. W. Cahn: Metallic phase with long range orientational order and no translation symmetry. In: Physical Review Letters. Band 53(20), 1984, S. 1951–1954.
  55. The Nobel Prize in Chemistry 2011 – Scientific Background. Nobelprize.org, 6. Mai 2012, abgerufen am 6. Mai 2012.
  56. The Nobel Prize in Chemistry 2011. Nobelprize.org, 2. Mai 2012, abgerufen am 2. Mai 2012.
  57. Eric Weisstein: Silver Ratio. WolramMathWorld, 11. Januar 2021, abgerufen am 11. Oktober 2022.
  58. Dario Jotanovic: 9.1 Silberner Schnitt. (PDF) (Nicht mehr online verfügbar.) In: Der Goldene Schnitt Implementierung mathematischer Algorithmen. Hochschule Darmstadt, S. 27, archiviert vom Original; abgerufen am 11. Oktober 2022.
  59. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 8–9.
  60. S. R. Finch: Mathematical Constants, Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94, Cambridge University Bridge, 2003, S. 9.
  61. Horst Knietzsch: Film – gestern und heute: Gedanken und Daten zu 7 Jahrzehnten Geschichte der Filmkunst. Urania, Leipzig 1967, bei AbeBooks.
  62. Gábor Paál: Was ist schön? Die Ästhetik in allem. Königshausen & Neumann, 2020, ISBN 978-3-8260-7104-1, S. 304.
  63. Gustav Theodor Fechner: Vorschule der Ästhetik. (PDF) XIV. […] Experimentale Aesthetik. Goldner Schnitt und Quadrat. Breitkopf & Härtel, 1876, S. 192, abgerufen am 3. Oktober 2022.
  64. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 26–29
  65. a b Michael Gebauer: Konstruieren/Werken: Dem Goldenen Schnitt auf der Spur –Reduktionszirkel bauen. (PDF) IKP – Arbeitsblatt – Konstruieren: Reduktionszirkel bauen. INTEGRALE KUNST PÄDAGOGIK, abgerufen am 11. Oktober 2022.
  66. a b Michael Gebauer: Der Goldene Zirkel (Reduktionszirkel). (PDF) IKP – Arbeitsblatt – Konstruieren: Reduktionszirkel bauen. INTEGRALE KUNST PÄDAGOGIK, abgerufen am 11. Oktober 2022.
  67. Michael Gebauer: Bauanleitung 1: Reduktionszirkel nach Bürgi. (PDF) IKP – Arbeitsblatt – Konstruieren: Reduktionszirkel bauen. INTEGRALE KUNST PÄDAGOGIK, abgerufen am 11. Oktober 2022.
  68. M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, Oder Deutlicher Begrief Der Mathematischen Wissenschaften. S. 564, abgerufen am 15. April 2020.
  69. M. Johann Wentzel Kaschuben: Cvrsvs mathematicvs, Oder Deutlicher Begrief Der Mathematischen Wissenschaften. Tab. I Alg.
  70. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 158–160
  71. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 136–137
  72. a b Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 138
  73. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 138–141
  74. Website der Hochschule Augsburg Thesenpapier zur Makro-Typografie Proportionen und Formate von Prof. Michael Wörgötter, Fakultät für Gestaltung (PDF-Download)
  75. Rik Verhulst: Im Banne der Mathematik - Die kulturellen Aspekte der Mathematik in Zivilisation, Kunst und Natur, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58797-3, Seite 307
  76. Hans Walser: 8.1 Das alte Rathaus zu Leipzig. (PDF) Der Goldene Schnitt. 10. Juni 2021, S. 9, abgerufen am 3. Oktober 2022.
  77. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 142–147
  78. Mario Livio: The golden ratio: The story of phi, the world’s most astonishing number. Broadway Books, 2003, ISBN 978-0-7679-0816-0, S. 177–178.
  79. Mario Livio: The golden ratio: The story of phi, the world’s most astonishing number. Broadway Books, 2003, ISBN 978-0-7679-0816-0, S. 5.
  80. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 148–155
  81. Goldener Schnitt – Proportionen und Harmonie in der Malerei Mathothek vom 15. August 2018, abgerufen am 4. Oktober 2022
  82. Herbert Henning, Christian Hartfeldt: Das Lächeln der Mona Lisa Fakultät für Mathematik der Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, PDF-Präsentation, Seite 49 (aus dem Artikel: Vom Lächeln der Mona Lisa und der Schönheit einer Sonnenblume in: Der Mathematikunterricht, 53 (2007), No. 1/2, Seite 93–102)
  83. The Fibonacci Sequence - The Mona Lisa auf thefibonaccisequence.weebly.com, abgerufen am 5. Oktober 2022
  84. Fiona Grießhammer, Rebekka Maas: Fibonacci-Zahlen und der Goldene Schnitt aus den Seminarthemen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Universität Leipzig (PDF-Dokument, Seite 43)
  85. Michael Frye: Digitale Landschaftsfotografie: Fotografieren wie Ansel Adams und Co. Hüthig Jehle Rehm 2010, ISBN 978-3-8266-5896-9, S. 72 (Auszug in der Google-Buchsuche).
  86. Garry Reynolds: Zen oder die Kunst der Präsentation: mit einfachen Ideen gestalten und präsentieren. Pearson Education 2008, ISBN 978-3-8273-2708-6, S. 151–152 (Auszug (Google)).
  87. Thomas Micchelli: A Struggle for Balance. 10. September 2016, abgerufen am 12. Januar 2017.
  88. Udo Hebisch: Mathematik und Kunst. Bilder im virtuellen Mathe-Museum der TU Freiberg. Technische Universität Bergakademie Freiberg, 2008, abgerufen am 15. Oktober 2022.
  89. Udo Hebisch: Der goldene Schnitt. Bilder im virtuellen Mathe-Museum der TU Freiberg. Technische Universität Bergakademie Freiberg, 2009, abgerufen am 15. Oktober 2022.
  90. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg / Berlin / Oxford 1988, ISBN 3-411-03155-7, S. 165–167
  91. Jonathan Kramer: The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music. In: Journal of Music Theory. Band 17, Nr. 1, 1973, S. 110–148.
  92. How a Violin is Made. In: Popular Mechanics. September 1943, S. 106–108; Textarchiv – Internet Archive.
  93. Stewart Pollens: Stradivari. Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-87304-8, S. 239 (Auszug (Google)).
  94. Thomas H. Cormen, Charles Leiserson, Ronald Linn Rivest, Clifford Stein: Introduction to Algorithms. 2. Auflage. MIT Press, 2001, ISBN 0-262-53196-8, S. 231–232.
  95. Markos Papageorgiou, Marion Leibold, Martin Buss: Optimierung. 4. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2015, S. 30, doi:10.1007/978-3-662-46936-1.
  96. Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1, S. 130 ff. (Auszug (Google)).
  97. W. Gellert u. a.: Kleine Enzyklopädie Mathematik. VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979, S. 694.
  98. Horst Völz: Reproduktion 11.11.2006: Computer und Kunst Reihe akzent 87. 2. Aufl. Urania-Verlag Leipzig Jena - Berlin 1990. (PDF; 8,7 MB); Auffälligkeit Der Überraschungswert. (PDF; 8,7 MB) S. 14 von 67; abgerufen am 13. August 2018.