Fallende und steigende Faktorielle

Die fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) bezeichnet in der Mathematik eine Funktion ähnlich der Exponentiation, bei der jedoch die Faktoren schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

Definition

Für natürliche Zahlen und mit wird die -te fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) als bzw. notiert und ist wie folgt definiert:

Man liest die Terme als " hoch fallend" bzw. " hoch steigend".

In manchen Lehrbüchern wird auch bzw. verwendet.

Kombinatorische Interpretation

Im Urnenmodell lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit verschiedenen Kugeln Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es Kandidaten, für die zweite … und schließlich für die letzte Kugel noch . Für die Gesamtauswahl gibt es daher Möglichkeiten.

Allgemein ist die Anzahl der -Permutationen einer -Menge oder alternativ die Anzahl injektiver Abbildungen einer -Menge in eine -Menge.

Verallgemeinerung

Die Definition erfolgt analog für eine komplexe Zahl und eine natürliche Zahl :

Man kann und dann als komplexe Polynome in auffassen.

Für stimmt die steigende Faktorielle mit dem Pochhammer-Symbol überein.

Eigenschaften

Rechenregeln

Es gelten folgende Rechenregeln:

 für

Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen

Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die Binomialkoeffizienten allgemein definieren:

Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei und die (vorzeichenlosen) Stirling-Zahlen erster und zweiter Art bezeichnen:

Vorkommen in der Analysis

Literatur