Epsilon-Induktion

Unter Epsilon-Induktion (auch ∈-Induktion) versteht man in der Mathematik ein spezielles Beweisverfahren der Mengenlehre. Gilt es zu beweisen, dass eine Aussage für alle Mengen gilt, so reicht es laut Epsilon-Induktion zu zeigen, dass sie für die Mengen gilt, für deren Elemente sie gilt. Präzise ausgedrückt besagt die Epsilon-Induktion also

Ihren Namen hat die Epsilon-Induktion dem griechischen Kleinbuchstaben ε zu verdanken, aus dem sich das heutige Elementzeichen entwickelte.

Verhältnis zu Regularität

Die Gültigkeit der Epsilon-Induktion lässt sich für jedes in ZF beweisen und das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig.

Maßgeblich geht in den Beweis das klassische Regularitätsaxiom ein. Die Epsilon-Induktion is ein Axiomenschema, während das Regularitätsaxiom ein einziges Axiom ist, welches nur Mengen betrifft. Es lässt sich dennoch sogar zeigen, dass die Epsilon-Induktion zum Regularitätsaxiom äquivalent ist. Das heißt, tauschte man in ZF das Regularitätsaxiom gegen die Epsilon-Induktion aus, so entstünde ein äquivalentes Axiomensystem.

Beweis

Zum Beweis der Epsilon-Induktion für betrachtet man eine transitive Menge.

Für eine gegebene Menge existiert in ZF die transitive Hülle , welche auch als Teilmenge enthält. Man betrachtet damit weiters die Menge

Der Beweis erfolgt über einen Widerspruch: Wäre die Epsilon-Induktion falsch, so gäbe es bei erfüllter Induktions-Voraussetzung also eine Menge für die jedoch gilt. Damit gilt , sodass nicht leer ist. Somit liefert die Regularität von ein epsilon-minimales Element , also ein Element mit welches einen leeren Schnitt mit hat. Jedes Element von ist aufgrund der Transitivität von wieder in , kann aber wegen der Epsilon-Minimalität von nicht auch in sein. Da durch die Negation des Prädikats charakterisiert ist gilt für alle die Aussage . Die Implikation in der Voraussetzung des Induktions-Schemas liefert damit aber wiederum , im Widerspruch zum etablierten .

Anwendung

Die Epsilon-Induktion wird zum Beispiel dafür benutzt, zu zeigen, dass jede Menge in der Von-Neumann-Hierarchie enthalten ist. Zu jeder Menge findet man also eine Ordinalzahl mit . In dem entsprechenden Beweis ist die Aussage also durch

definiert.

Literatur

  • Thomas Jech: Set Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2002, ISBN 3-540-44085-2.