Dodekaeder

Regelmäßiges Pentagondodekaeder

Art der Seitenflächen	regelmäßige Fünfecke
Anzahl der Flächen	12
Anzahl der Ecken	20
Anzahl der Kanten	30
Schläfli-Symbol	{5,3}
dual zu	Ikosaeder
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	43380
Anzahl Kanten in einer Ecke	3
Anzahl Ecken einer Fläche	5

Das Dodekaeder [ˌdodekaˈʔeːdɐ] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das regelmäßige Pentagondodekaeder, ein Körper mit

12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken
30 gleich langen Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist
20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen

Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.

Das regelmäßige Pentagondodekaeder

Dodekaeder mit Beispielen der Drehachsen

C_{5},C_{3},C_{2}

und einer Symmetrieebene (blau)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

6 fünfzählige Drehachsen $C_{5}$ (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen)
10 dreizählige Drehachsen $C_{3}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
15 zweizählige Drehachsen $C_{2}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten)

und ist

punktsymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaedergruppe oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe $A_5$ . Manchmal wird auch diese Untergruppe Ikosaedergruppe genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt $A_5 \times C_2$ . Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.

Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).

Struktur

Dodekaeder (blau) mit dualem Ikosaeder (grün).Die Mittelpunkte (rot) der regelmäßigen Fünfecke sind die Ecken des Ikosaeders.

Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.

Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Dodekaeder mit 12 Zehnecken und 20 Dreiecken durch Abstumpfung der Ecken eines Dodekaeders
das Ikosidodekaeder mit 12 Fünfecken und 20 Dreiecken
das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene)
und das Rhombentriakontaeder mit 12 + 20 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen. Es entsteht durch das Aufsetzen gerader Pyramiden auf das Dodekaeder, von denen je zwei Seitenflächen einander ergänzen, d. h. in einer Ebene liegen und eine Kante gemein haben.

Aus den Kanten des Dodekaeders kann man 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen 8 Ecken bilden dann die Ecken eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5! = 120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.

Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.

Formeln

Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Dodekaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V={\frac {a^{3}}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\approx 7{,}663\cdot a^{3}$	ohne Raumwinkel $\Omega$ in den Ecken
Oberflächeninhalt	$A_{O}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}\;\approx 20{,}646\cdot a^{2}$
Umkugelradius	$r_{u}={\frac {a}{4}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {3}}\approx 1{,}401\cdot a$
Kantenkugelradius	$r_{k}={\frac {a}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1{,}309\cdot a$
Inkugelradius	$r_{i}={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}114\cdot a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	${\frac {V}{V_{UK}}}={\frac {\sqrt {15}}{6\pi }}\left(1+{\sqrt {5}}\right)\approx 0{,}665$
Innenwinkel des regelmäßigen Fünfecks	$\alpha = 108^\circ$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	$\beta =180^{\circ }-2\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\approx 116,56^{\circ }$
Winkel zwischen Kante und Fläche	$\gamma =90^{\circ }+\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\approx 121,72^{\circ }$
Raumwinkel in den Ecken	$\Omega =2\pi -6\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\approx 2{,}962\;\mathrm {sr}$
Sphärizität	$\Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{180\,\pi \left(47+21{\sqrt {5}}\right)}}{6{\sqrt {\left(25+10{\sqrt {5}}\right)}}}}\approx 0{,}91$

Winkel, Punkte, Flächen, Radien, Koordinaten

Dodekaeder mit einbeschriebenem Würfel

Einbeschriebener Würfel

Viele metrische Eigenschaften eines Dodekaeders lassen sich aus der im Bild gezeigten Koordinatendarstellung berechnen/ablesen. In dem Bild wird der Dodekaeder mit der Kantenlänge $a$ aus dem Würfel mit der Kantenlänge $c={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}a$ , der Länge der Diagonale in einer Seitenfläche (5-Eck), aufgebaut. Die Würfelpunkte sind $(\pm {\tfrac {c}{2}},\pm {\tfrac {c}{2}},\pm {\tfrac {c}{2}})$ . Sie sind 8 der 20 Dodekaeder Punkte. $P_{1}=({\tfrac {c}{2}},{\tfrac {c}{2}},{\tfrac {c}{2}})$ ist solch ein Punkt. Beim Rechnen ist immer wieder die Gleichung $c^{2}=ac+a^{2}$ nützlich (siehe Goldener Schnitt).

$P_{2}=(0,{\tfrac {a+c}{2}},{\tfrac {a}{2}})$ ist ein Dodekaederpunkt in der y-z-Ebene.

Um dies einzusehen, muss gezeigt werden, dass der

Abstand $d$ einer nicht in einer Würfelebene liegenden Kante von der Würfelebene gleich ${\tfrac {a}{2}}$ ist.

Hierzu wird der Tangens des Winkels $\varphi$ (siehe Bild Berechnung v. Winkel) auf zwei Arten ausgedrückt:

\tan \varphi =d/{\frac {c}{2}}=\left({\frac {c}{2}}-{\frac {a}{2}}\right)/d

\to \ d^{2}={\frac {1}{4}}c(c-a)={\frac {a^{2}}{4}}\ \to \ d={\frac {a}{2}}

\to \ \tan \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\ \to \ \varphi \approx 31{,}72^{\circ }

Winkel

Zur Berechnung von Winkel, … eines Dodekaeders

Damit ist (siehe nebenstehendes Bild) der

Winkel zwischen Seitenflächen $\ \beta =180^{\circ }-2\varphi \approx 116{,}56^{\circ }$
Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche $\ \gamma =90^{\circ }+\varphi \approx 121{,}72^{\circ }$

Punkte des Dodekaeders

Startet man mit den oben beschriebenen – auch im Bild erkennbaren – Punkten (8 Würfelpunkte, 12 Andere) und will nachweisen, dass sie die Ecken eines regulären Dodekaeders sind, zeigt man, dass

alle Punkte auf einer Kugel liegen (Ihr Abstand zum Nullpunkt ist gleich)
die Punkte jedes Fünfecks in einer Ebene liegen
benachbarte Punkte den Abstand $a$ haben.

Denn dann liegen die Punkte eines jeden Fünfecks auf einem ebenen Schnitt mit der Kugel, also auf einem Kreis, und benachbarte Punkte haben den gleichen Abstand, d. h., das Fünfeck ist regulär.

Um/In/Kanten-Kugelradien

Dodekaeder mit Kantenlänge

a=1

Konstruktion des Inkugelradius

r_{i}

und des Kantenkugelradius

r_{k}

mithilfe der Geraden

g

Aus der Zeichnung erkennt man ferner den

Kantenkugelradius $\ r_{k}={\frac {a+c}{2}}={\frac {a}{4}}(3+{\sqrt {5}})\approx 1{,}31\;a$
Umkugelradius $\ r_{u}=|OP_{1}|={\frac {c}{2}}{\sqrt {3}}={\frac {a}{4}}({\sqrt {5}}+1){\sqrt {3}}$

\qquad \qquad \qquad \quad \;=|OP_{2}|={\frac {a}{4}}{\sqrt {18+6{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}40\;a

Der Inkugelradius ist (siehe Bild Berechnung v. Winkel) der Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Punkt $(0,r_{k})$ mit der Steigung $\tan \varphi$ . Diese Gerade hat die Gleichung

z={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\;y+{\frac {a}{4}}(3+{\sqrt {5}})\ \to \ ({\sqrt {5}}-1)y-2z+{\frac {a}{2}}(3+{\sqrt {5}})=0

.

Bestimmt man den Abstand dieser Gerade vom Nullpunkt mit Hilfe der Hesseschen Normalform, so ergibt sich der Inkugelradius $r_{i}$ . Es ist

r_{i}^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {(3+{\sqrt {5}})^{2}}{({\sqrt {5}}-1)^{2}+4}}\;a^{2}={\frac {7+3{\sqrt {5}}}{4(5-{\sqrt {5}})}}\;a^{2}={\frac {50+22{\sqrt {5}}}{80}}\;a^{2}

Damit ist der

Inkugelradius $\ r_{i}={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}\approx 1{,}11\;a$ .

Oberfläche, Volumen

Bild 1: Zur Volumenberechnung

Bild 2: Volumen des Dodekaeders entspricht Volumen von 12 Pyramiden

Die Oberfläche des Dodekaeders ist die Summe der 12 der 5-Eckflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 5-Ecks ist $A_{5}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}\$ . Damit ist die

Oberfläche des Dodekaeders: $\ A_{O}=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}$ .

Das Volumen des Dodekaeders (Bild 1) ist die Summe des Würfelvolumens und den 6 über jeder Würfelseite liegendem Dach ähnlichen Teil. Das Volumen $V_{D}$ eines solchen Dachteiles setzt sich aus dem Volumen einer Pyramide mit Grundfläche $c(c-a)$ und Höhe ${\frac {a}{2}}$ (siehe Bild) und dem dreieckigen Prisma mit Grundfläche ${\tfrac {1}{2}}c{\tfrac {a}{2}}$ und Länge $a$ zusammen. Also ist

V_{D}={\frac {1}{3}}c(c-a){\frac {a}{2}}\;+\;{\frac {1}{2}}c{\frac {a}{2}}a={\frac {a^{3}}{24}}(7+3{\sqrt {5}})

und es ist das

Volumen des Dodekaeders: $\ V=c^{3}+6V_{D}={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}66\;a^{3}$

Eine weitere Möglichkeit der Volumenberechnung (Bild 2) ergibt sich, wenn man das Dodekaeder, als einen Zusammenbau von 12 gleich großen Pyramiden mit fünfeckiger Grundfläche ansieht. Das Volumen des Dodekaeders entspricht dann dem Volumen von 12 Pyramiden.

Für das Volumen der Pyramide gilt allgemein $V={\tfrac {1}{3}}Gh$ . Nimmt man für $G$ die fünfeckige Grundfläche $A_{5}={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}\$ , für $h$ die Höhe der Pyramide gleich dem Inkugelradius $r_{i}={\tfrac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}$ des Dodekaeders und setzt abschließend den Faktor 12, ergibt sich

V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{4}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\;a^{2}\cdot {\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}\cdot 12

daraus folgt ebenfalls

Volumen des Dodekaeders: $\ V={\frac {a^{3}}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\approx 7{,}66\;a^{3}$

Raumwinkel in den Ecken

Raumwinkel mit Einheitskugel

Raumwinkel

Der Raumwinkel $\Omega$ in einer Dodekaederecke ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Dreiecks, das die Kanten einer Ecke auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Die Winkel dieses sphärischen Dreiecks sind alle gleich dem Winkel $\beta$ (siehe oben) zwischen zwei Dreiecksebenen. Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ist der Raumwinkel

$\Omega =3\beta -\pi =3\left(\pi -2\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\right)-\pi$

\qquad =2\pi -6\arctan \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)\approx 2{,}961739154\;\mathrm {sr} .

Dieser Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel $\theta \approx 58{,}1^{\circ }$

Anwendungen

Einige geodätische Kuppeln sind Polyeder, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in gleichschenkelige Dreiecke unterteilt werden.
Es gibt dodekaederförmige Spielwürfel.
Dodekaeder werden auch als originelle Wertstoff-Sammelbehälter eingesetzt, zum Beispiel in Paris.
In der Bauakustik werden dodekaederförmige Lautsprecher verwendet, um eine möglichst gute Kugelcharakteristik zu erhalten.
Statt einer Glaskugel werden kristallene Zwölfflächner zur Raumausleuchtung verwendet.
Der Verwendungszweck des römischen Pentagondodekaeders ist bis heute unklar.

Ein Dodekaeder kann auch als Jahres-Kalender verwendet werden: jeder Monat erhält ein eigenes Fünfeck.
Sowohl Megaminx als auch Alexander’s Star sind Varianten des Zauberwürfels in Form eines Dodekaeders als dreidimensionales Puzzle.
In Waldorfschulen ist der Grundstein, der traditionell am Eingangsportal einer jeden Schule platziert wird, ein kupfernes Pentagondodekaeder.^[1]^[2]

Ein Dodekaeder als Spielwürfel
Megaminx, eine Zauberwürfel-Variante
Ein Dodekaeder als Weihnachtsstern aus der Ausstellung "Sterne – nicht nur zur Weihnachtszeit" im Museum Europäischer Kulturen in Berlin
Römisches Dodekaeder im Landesmuseum Württemberg, Stuttgart

Pentagondodekaeder mit unregelmäßigen Flächen

Das Pyritoeder

Das Pyritoeder hat ebenfalls 12 Flächen, 20 Ecken und 30 Kanten. Die Flächen sind aber nicht regelmäßig. Jede der 12 Flächen ist ein Fünfeck mit vier kürzeren und einer längeren Kante. Insgesamt besitzt dieses Polyeder 24 kürzere und 6 längere Kanten.^[3] Wie auch beim regelmäßigen Pentagondodekaeder bilden 8 der 20 Ecken einen einbeschriebenen Würfel (Vergl. Abschnitt 1.3.1); in der Abbildung sind sie gelb markiert. In der Natur kommt Pyrit (FeS₂) manchmal in dieser Gestalt vor. Deshalb wird diese Varietät des Pentagondodekaeder in der Mineralogie auch Pyrit-Dodekaeder oder Pyritoeder^[4] genannt. Bei Kristallen sind fünfzählige Achsen unmöglich, wie das reguläre Pentagondodekaeder sie besitzt, weil es keine lückenlose periodische Flächenfüllung mit fünfzähliger Symmetrie gibt. Nur bei nicht streng periodischen „Kristallen“, also Quasikristallen, ist ein reguläres Pentagondodekaeder denkbar.

Pyritoeder
rote Kanten sind länger

Netze des Dodekaeders

Das Dodekaeder hat 43380 Netze.^[5] Das heißt, es gibt 43380 Möglichkeiten, ein hohles Dodekaeder durch Aufschneiden von 19 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 11 Kanten verbinden jeweils die 12 regelmäßigen Fünfecke des Netzes. Um ein Dodekaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 4 Farben.

Animation eines Dodekaedernetzes

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

Färbungen veranschaulicht
Dodekaeder einbeschrieben vom dualen Ikosaeder

Das Dodekaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 20 Knoten, 30 Kanten und 12 Gebieten, der 3-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 3 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 3 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Dodekaedergraphen entsprechen den Ecken des Dodekaeders.

Die Knoten des Dodekaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist (siehe Knotenfärbung). Außerdem können die Kanten mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 2 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 3 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Knotenfärbung des Dodekaedergraphen

Kantenfärbung des Dodekaedergraphen

Flächenfärbung des Dodekaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Ikosaedergraphen

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Ikosaedergraph) mit 12 Knoten, 30 Kanten und 20 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Dodekaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung). Die Knoten des Ikosaedergraphen können mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, aber nicht mit 3 Farben, sodass die chromatische Zahl des Ikosaedergraphen gleich 4 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 4 ist, sind 4 Farben für eine solche Flächenfärbung des Dodekaeders oder eine Färbung der Gebiete des Dodekaedergraphen nötig.^[6]

Die 19 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Dodekaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Dodekaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 12 Knoten und 11 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Dodekaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Dodekaedergraph besitzt 60 Hamiltonkreise, aber keine Eulerkreise.^[7]

Dodekaedergraph mit einem der 60 Hamiltonkreise

Andere Dodekaeder

Andere Dodekaeder sind zum Beispiel:

Das Rhombendodekaeder besitzt 12 kongruente Rauten als Flächen, 14 Ecken und 24 Kanten. Es ist ein catalanischer Körper und dual zum Kuboktaeder. Es bildet die typische Kristallform der Granate.
Das Trigondodekaeder besitzt 12 kongruente gleichseitige Dreiecke als Flächen, 8 Ecken und 18 Kanten. Es ist ein Deltaeder und Johnson-Körper.
Ausgehöhltes Dodekaeder
Großes Dodekaeder
Rhombenikosidodekaeder
Verlängertes Rhombendodekaeder

Einige dieser Polyeder haben mehr als 12 Flächen, sind also keine echten Dodekaeder.

Weblinks

Euklid: Stoicheia. Buch XIII.17. Dodekaeder einer Kugel ...
Herleitung der Formeln
Bastelbogen für Kalender in Dodekaeder-Form
Dodekaeder. Mathematische Basteleien
Dodekaeder-Rechner für Kantenlänge, Oberflächeninhalt, Rauminhalt, Umkugelradius, Kantenkugelradius und Inkugelradius
Wilfried Stevens: Das Dodekaeder Beitrag im Mystikum-Magazin, Juni 2019

Einzelnachweise

↑ waldorfschule-muenster.de (Memento vom 11. Juni 2015 im Internet Archive)
↑ siehe z. B. Georg Unger: Das offenbare Geheimnis des Raumes. Meditationen am Pentagondodekaeder nach Carl Kemper. Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 1963.
↑ Dodekaeder / Pentagondodekaeder / Pentagonal dodecahedron. Mineralienatlas, abgerufen am 25. Dezember 2020.
↑ Nichtsilikate. RUB Fakultät für Geowissenschaften, 2022, abgerufen am 9. Oktober 2022: „Pyrit (FeS2) ist ein messinggelb, metallisch glänzendes und relativ hartes Sulfid, welches gerne in Form von Pentagondodekaedern („Pyritoeder“), Würfel und seltener auch Oktaedern vorkommt (typisch ist außerdem, dass einige Flächen eine Längsstreifung aufweisen können).“
↑ Eric Weisstein: Dodecahedron. Netze. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.
↑ Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.
↑ Eric Weisstein: Dodecahedral Graph. Graphen. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.

[1] waldorfschule-muenster.de (Memento vom 11. Juni 2015 im Internet Archive)

[2] siehe z. B. Georg Unger: Das offenbare Geheimnis des Raumes. Meditationen am Pentagondodekaeder nach Carl Kemper. Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart 1963.

[3] Dodekaeder / Pentagondodekaeder / Pentagonal dodecahedron. Mineralienatlas, abgerufen am 25. Dezember 2020.

[4] Nichtsilikate. RUB Fakultät für Geowissenschaften, 2022, abgerufen am 9. Oktober 2022: „Pyrit (FeS2) ist ein messinggelb, metallisch glänzendes und relativ hartes Sulfid, welches gerne in Form von Pentagondodekaedern („Pyritoeder“), Würfel und seltener auch Oktaedern vorkommt (typisch ist außerdem, dass einige Flächen eine Längsstreifung aufweisen können).“

[5] Eric Weisstein: Dodecahedron. Netze. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.

[6] Mike Zabrocki: HOMEWORK #3 SOLUTIONS - MATH 3260. (PDF) York University, Mathematics and Statistics, Toronto, 2003, S. 4, abgerufen am 31. Mai 2020.

[7] Eric Weisstein: Dodecahedral Graph. Graphen. In: MathWorld Wolfram. A Wolfram Web Resource, abgerufen am 1. Juli 2020.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]