Breit-Rabi-Formel

Die Breit-Rabi-Formel (nach Gregory Breit und Isidor Isaac Rabi (1931)) beschreibt in der Atomphysik die Hyperfeinstruktur-Aufspaltung des Wasserstoffatoms und wasserstoffähnlicher Atome (mit Valenzelektron in der s-Schale) in Abhängigkeit eines externen Magnetfeldes. Ihr Nutzen besteht vor allem darin, dass sie auch im Übergangsbereich zwischen schwachen (Zeeman-Effekt) und starken Feldstärken (Paschen-Back-Effekt) quantitativ gültig ist. Dies ist beim Wasserstoffatom von besonderer Bedeutung, weil dessen Kern- und Hüllendrehimpuls schon bei geringen Flussdichten im Bereich entkoppeln.

Die Breit-Rabi-Formel ist ein Ausdruck für die Energieverschiebung eines Niveaus mit allgemeinem Kernspin und magnetischer Quantenzahl des Gesamtdrehimpulses , jedoch einem vorgegebenen Hüllendrehimpuls . Sie lautet:[3]

Dabei ist die atomspezifische Hyperfeinstruktur-Kopplungskonstante, das Bohrsche und das Kernmagneton. und sind die Landé-Faktoren des Hüllendrehimpulses bzw. Kernspins .

Herleitung für den Grundzustand des Wasserstoffatoms

Die Drehimpulse werden hier mit den Drehimpulsquantenzahlen beschrieben, die dem Betrag eines Drehimpulses in Einheiten des reduzierten Plancksches Wirkungsquantum entsprechen. Das Wasserstoffatoms hat einen Kernspin . Das einzige Elektron hat im Grundzustand () nur einen Spin-Drehimpuls, der gleichzeitig auch der gesamte Hüllendrehimpuls ist. Kernspin und Hüllendrehimpuls koppeln gemäß der Drehimpulsalgebra zum Gesamtdrehimpuls . Die nun folgende Herleitung für diesen einfachsten Fall lässt sich für verschiedene Werte von und stark verallgemeinern. Das grundsätzliche Verfahren wird in der hier vorgestellten Form jedoch gut ersichtlich.

Der Hamiltonoperator der Hyperfeinstruktur mit einem B-Feld in z-Richtung ist:[4]

Dieser Hamilton-Operator wird nun in einer geeigneten Basis diagonalisiert, die sich aus "guten Quantenzahlen" zusammensetzt; mit der Projektion des Drehimpulses auf die Richtung des Magnetfeldes (magnetische Quantenzahl). Der erste Summand des obigen Hamiltonian ist in dieser Basis diagonal und lässt sich ausdrücken als

Die -Komponenten und lassen sich mit dem Wigner-Eckart-Theorem ebenfalls in Matrix-Form darstellen. Die Zeilen bzw. Spalten sind links bzw. oben mit Indizes versehen, die als zu lesen sind. Abseits der Diagonalen sind fast alle Einträge null, außer denen mit , die mischen.

Analog folgt für die -Komponente des Kernspins:

Addiert man alle drei einzeln in Matrix-Darstellung gebrachten Terme auf und setzt sowie für das Wasserstoffatom ein, dann ergibt sich für den Hamiltonian:[5]

Die Eigenwerte dieser Matrix ergeben unter Vernachlässigung quadratischer Terme in für allgemeine Werte für und gerade die oben genannte Breit-Rabi-Formel.

Einzelnachweise

  1. Gregory Breit, Isidor Isaac Rabi: Measurement of Nuclear Spin. In: Physical Review Letters. Band 38, Nr. 11, November 1931, S. 2082--2083, doi:10.1103/PhysRev.38.2082.2.
  2. Florian Scheck: Quantum Physics. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 284.
  3. Blair, B.E. and Morgan, A.H.: Frequency and Time. U.S. Government Printing Office, 1972, ISBN 978-3-642-34563-0, S. 13–14.
  4. Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 362.
  5. Ingolf V. Hertel, Claus-Peter Schulz: Atome, Moleküle und optische Physik 1 – Atomphysik und Grundlagen der Spektroskopie. 1. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-30613-9, S. 367 ff.