Arkussinus und Arkuskosinus

Arkussinus und Arkus­kosinus im kartesi­schen Koordinaten­system
  • arcsin (x)
  • arccos (x)
  • Der Arkussinus – geschrieben oder  – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben oder  – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsmenge auf das Intervall für Sinus und auf für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

    Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen und die klassische Schreibweise bzw. zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]

    Definitionen

    Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)

    die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf das Intervall betrachtet.

    Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von definiert. Dies ergibt mit

    ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

    lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

    Eigenschaften

      Arkussinus Arkuskosinus
    Funktionsgraph Arcsin Arccos
    Definitionsmenge
    Bildmenge
    Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
    Symmetrien Ungerade Funktion (Punktsymmetrie zu ):
    Punktsymmetrie zu
    Asymptoten keine keine
    Nullstellen Eine Nullstelle bei Eine Nullstelle bei
    Sprungstellen keine keine
    Polstellen keine keine
    Extrema Globales Maximum an der Stelle ,
    globales Minimum an der Stelle
    Globales Maximum an der Stelle ,
    globales Minimum an der Stelle
    Wendepunkte

    Formeln für negative Argumente

    Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

    Reihenentwicklungen

    Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:

    Der Ausdruck bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

    Die Taylorreihe des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung :

    Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

    Integraldarstellungen

    Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

    Verkettungen mit Sinus und Kosinus

    Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .

    Beziehung zum Arkustangens

    Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt

    für Definiert man so werden diese beiden Gleichungen auch für richtig. Alternativ dazu kann man auch

    verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arkustangens ergibt und für gilt. Für lässt sich Letzteres auch zu

    vereinfachen.

    Additionstheoreme

    Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:

    Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte

    Ableitungen

    Arkussinus
    Arkuskosinus
    Umrechnung

    Integrale

    Arkussinus
    Arkuskosinus

    Komplexe Argumente

      mit

    Zur Funktion siehe Areakosinus hyperbolicus, und für die Funktion gilt

    mit der Heaviside-Funktion .

    Anmerkungen

    Wichtige Funktionswerte

    Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte

    Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[2]

    Weitere wichtige Werte sind:

    Kettenbruchdarstellung des Arkussinus

    H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

    Komplexe Funktion

    Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

    Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:

    Für :

    Für :

    Siehe auch

    Literatur

    Einzelnachweise

    1. Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).
    2. Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).