Überlagerung (Topologie)

Die Überlagerung eines topologischen Raums ist eine stetige Abbildung mit speziellen Eigenschaften.

Definition

Anschaulich kann man sich eine Überlagerung so vorstellen, dass man den Überlagerungsraum auf dem Ausgangsraum drauflegt.

Sei ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von ist eine stetige surjektive Abbildung

,

sodass es einen diskreten Raum gibt und für jedes eine offene Umgebung gibt, sodass

und die Abbildung für jedes ein Homöomorphismus ist.

Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum  benutzt. Die offenen Mengen werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung ist zusammenhängend, eindeutig durch bestimmt.[1] Für ein heißt die diskrete Teilmenge  die Faser von . Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes . Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist wegzusammenhängend, so wird als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

Beispiele

  • Für jeden topologischen Raum existiert die triviale Überlagerung mit .
Der Raum ist eine Überlagerung von , die paarweise disjunkten Mengen  werden homöomorph auf abgebildet. Die Faser des Punktes  besteht aus den Punkten .
  • Die Abbildung mit ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises in . Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung eines mit positivem -Wert: .
  • Für jedes ist die Abbildung mit eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung eines gilt: .
  • Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung mit . Hierbei wird ein Blatt von , wobei eine offene Umgebung von ist, nicht homöomorph unter auf abgebildet.

Eigenschaften

Lokaler Homöomorphismus

Da eine Überlagerung die paarweise disjunkten, offenen Mengen von jeweils homöomorph auf die offene Menge abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes eine offene Umgebung existiert, sodass ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:

Produkt von Überlagerungen

Seien und topologische Räume und und Überlagerungen, dann ist mit eine Überlagerung von .[4]

Faktorisierung

Seien und stetige Abbildung, sodass das Diagram

Commutativ coverings.png

kommutiert.

  • Sind und Überlagerung, so auch .[4]
  • Sind und Überlagerung, so auch .[4]

Äquivalenz von Überlagerungen

Sei ein topologischer Raum und und Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus gibt, sodass das Diagramm

Kommutatives Diagramm Äquivalenz von Überlagerungen.png

kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

Hochhebungseigenschaft

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:

Sei das Einheitsintervall und eine zusammenhängende Überlagerung. Sei eine stetige Abbildung und ein Lift von , i.e. eine stetige Abbildung, sodass , dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung , welche hochhebt (liftet), i. e. .[1]

Ist ein wegzusammenhängender Raum, so ist für die Abbildung die Hochhebung eines Weges in und für die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in .

Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife mit erzeugt wird.[1]

Ist ein wegzusammenhängender Raum und eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte , die durch einen Weg verbunden sind, dass man durch die Hochhebung von eine bijektive Abbildung

,

zwischen den Fasern von und erhält.[1]

Ist ein wegzusammenhängender Raum und eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch induzierte Gruppenhomomorphismus

mit

injektiv. Die Elemente der Untergruppe sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in , deren Hochhebung geschlossene Wege in sind.[1]

Verzweigte Überlagerung

Definitionen

Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen

Seien und Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und eine stetige Abbildung. Die Abbildung ist holomorph in einem Punkt , wenn für jede Karte von und von , mit , die Abbildung holomorph ist.

ist holomorph, wenn auf ganz holomorph ist.

Die Funktion heißt die lokale Darstellung von in .

Ist eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist surjektiv[3] und eine offene Abbildung[3] , i.e. für jede offene Menge ist das Bild ebenfalls offen.

Verzweigungspunkt

Sei eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes gibt es Karten für und und es existiert ein , sodass die lokale Darstellung von in von der Form ist.[3] Dieses wird als Verzweigungsindex von in bezeichnet. Ein Punkt heißt Verzweigungspunkt von , wenn .

Grad einer holomorphen Abbildung

Der Grad einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes , i. e. .

Diese Zahl ist endlich, da für jedes die Faser diskret ist[3] und sie ist wohldefiniert, da für je zwei , welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: .[3]

Für gilt:

[3]

Verzweigte Überlagerung

Definition

Eine stetige Abbildung wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge mit dichtem Komplement gibt, sodass eine Überlagerung ist.

Beispiele

  • Sei und , dann ist mit ist eine -fache verzweigte Überlagerung von , wobei ein Verzweigungspunkt ist.
  • Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad ist eine verzweigte -fache Überlagerung.

Universelle Überlagerung

Sei eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung , sodass das Diagramm

Universelle Überlagerung 2.0.png

kommutiert.[4]

Definition

Sei eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von , dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus , der das Diagramm

Universelle Überlagerung 2.0.png

kommutieren lässt.[4] Damit ist bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von genannt.

Existenz

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:

Sei zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung .

ist definiert als und als .[1]

Die Topologie auf erhält man wie folgt: Für ein Weg mit besitzt der Endpunkt eine einfach-zusammenhängende Umgebung , in der für jedes die Wege in von nach bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man , so ist mit eine Bijektion und kann mit der Finaltopologie von versehen werden.

Die Fundamentalgruppe operiert durch frei auf und ist ein Homöomorphismus, i. e.

Beispiele

  • mit ist die universelle Überlagerung der .
  • Sei . Die Abbildung mit ist für die universelle Überlagerung des projektiven Raumes .
  • mit ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe .[5]
  • Weil , ist die Abbildung die universelle Überlagerung der .
    Hawaiian Earrings.svg
  • Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring
. Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen mit Radius , welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist.[4]

Decktransformation

Definition

Sei ein topologischer Raum und eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus , sodass das Diagramm

Diagramm Decktrafo.png

kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe , welche gleich der Automorphismengruppe ist.

Beispiele

  • Sei und die Überlagerung , dann ist die Abbildung eine Decktransformation und .
  • Sei die Überlagerung , dann ist die Abbildung mit eine Decktransformation und .

Eigenschaften

Sei ein wegzusammenhängender Raum und eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation bijektiv ist, wird jedes Elemente einer Faser permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. , einen Punkt in der Faser.[1] Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung eines und eine offene Umgebung eines gilt: ist eine Gruppenoperation.

Normale Überlagerungen

Definition

Eine Überlagerung heißt normal, wenn . Das bedeutet, dass es für jedes und für je zwei eine Decktransformation gibt, sodass . Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

Eigenschaften

Sei ein wegzusammenhängender Raum und eine zusammenhängende Überlagerung. Sei eine Untergruppe von , dann ist die Überlagerung genau dann normal, wenn eine normale Untergruppe von ist.[1]

Sei eine normale Überlagerung und , dann ist .[1]

Sei eine wegzusammenhängende Überlagerung und , dann ist , wobei der Normalisator von ist.[1]

Sei ein topologischer Raum. Eine Gruppe operiert diskontinuierlich auf , wenn für jedes und jede offene Umgebung von mit gilt, dass für jedes mit folgt, dass .

Operiert nun eine Gruppe diskontinuierlich auf einem topologischen Raum , so ist die Quotientenabbildung mit eine normale Überlagerung.[1] Dabei ist der Quotientenraum und die Bahn der Gruppenoperation.

Beispiele

  • Die Überlagerung mit ist eine normale Überlagerung für alle .
  • Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.

Berechnung von Decktransformationsgruppen

Sei eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum operiert und die normale Überlagerung.

  • Ist wegzusammenhängend, so gilt .[1]
  • Ist einfach-zusammenhängend, so gilt .[1]

Beispiele

  • Sei . Die antipodale Abbildung generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe und induziert eine diskontinuierliche Operation . Hierbei gilt für den Quotientenraum . Damit ist eine normale Überlagerung und für die universelle Überlagerung und damit für .
  • Sei die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung eine normale Überlagerung und weil ist sie die universelle Überlagerung der , weshalb gilt: .
  • Durch die diskontinuierliche Operation von auf , wobei ist das semidirekte Produkt ist, erhält man die universelle Überlagerung der Kleinschen Flasche und damit .
  • Sei der Torus eingebettet in . Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation , wobei . Damit folgt, dass die Abbildung eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche ist und damit .
  • Sei in eingebettet. Da die Operation diskontinuierlich ist, wobei teilerfremd sind, ist die Abbildung eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit .

Galois-Korrespondenz

Sei ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe eine wegzusammenhängende Überlagerung mit .[1] Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen und sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen und von konjugiert zueinander sind.[4]

Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:

Sei ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:

Für eine aufsteigende Sequenz von Untergruppen, ist die Sequenz

eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe vom Index ist die Überlagerung eine -fache Überlagerung.

Klassifikation

Definitionen

Kategorie von Überlagerungen

Sei ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie sind Überlagerungen und die Morphismen sind stetige Abbildungen , die das Diagramm

Kommutierendes Diagramm Cov.png

kommutieren lassen, wobei und Überlagerungen sind.

G-Menge

Sei eine topologische Gruppe. Die Kategorie ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes , die Bedingung .

Äquivalenz dieser Kategorien

Sei ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, und die Fundamentalgruppe von . definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor , der eine Äquivalenz von Kategorien ist.[1]

Literatur

  • Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X
  • Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9
  • James Munkres: Topology. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., ©2000, ISBN 978-0-13-468951-7
  • Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7
  • Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999

Einzelnachweise

  1. a b c d e f g h i j k l m n o p q Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X.
  2. Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7.
  3. a b c d e f g h i Otto Forster: lectures on riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9.
  4. a b c d e f g James Munkres: Topology. Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc., ©2000, ISBN 978-0-13-468951-7.
  5. Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999, S. 5, Theorem 1.