Yamabe-Problem

Das Yamabe-Problem bezeichnet eine mathematische Fragestellung aus der Differentialgeometrie des japanischen Mathematikers Hidehiko Yamabe über die Deformation der Metrik einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit.

Yamabe selbst veröffentlichte eine Lösung zu dem Problem mittels Methoden aus der Variationsrechnung und der Theorie der elliptischen partiellen Differentialgleichungen, allerdings entdeckte Neil Trudinger 1968 einen Fehler darin.[2] Trudinger konnte jedoch zeigen, dass die Lösung von Yamabe unter einer zusätzlichen restriktiven Annahme gilt. 1976 zeigte Thierry Aubin eine Verallgemeinerung des Resultates von Trudinger und 1984 wurde das Problem schließlich durch Richard Schoen vollständig (im affirmativen Sinne) gelöst.[3]

Yamabe-Problem

Das Problem lautet wie folgt:

Sei eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit ohne Rand der Dimension und seine Skalarkrümmung. Existiert eine positive Funktion , so dass eine konstante Skalarkrümmung hat?

Oder in anderen Worten, ob konform äquivalent zu einem mit konstanter Skalarkrümmung ist.

Yamabe-Gleichung

Von Yamabe stammt folgendes Resultat. Sei die Dimension von und eine zu konform äquivalente Metrik, dann existiert eine Funktion , so dass . Sei der Laplace-Beltrami-Operator angewendet auf und seine kovariante Ableitung, dann gilt für die Skalarenkrümmungen folgende Beziehung[2]

Mit der Substitution für eine positive Funktion und erhält man die Yamabe-Gleichung

welches ein nicht-lineares Eigenwertproblem

für den Operator ist. Wenn die Gleichung für eine Konstante erfüllt, dann hat eine konstante Skalarkrümmung.

Yamabe-Invariante

Yamabe fand heraus, dass die Yamabe-Gleichung die Euler-Lagrange-Gleichung des Funktionals[2]

ist, wobei über die zu konform äquivalenten Metriken variieren darf. Die Konstante

nennt man Yamabe-Invariante und ist eine Invariante der Konformal-Klasse von . Die Konformal-Klasse von ist .

Einzelnachweise

  1. H. Yamabe: On a deformation of Riemannianstructures on compact manifolds. In: Osaka Math. Journal. Band 12, 1960, S. 21–37.
  2. a b c John M. Lee und Thomas H. Parker: The Yamabe problem. In: Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. Band 17, Nr. 1, 1987, S. 37–91, doi:10.1090/S0273-0979-1987-15514-5.
  3. Richard Schoen: Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature. In: Lehigh University (Hrsg.): Journal of Differential Geometry. Band 20, Nr. 2, 1984, S. 479 - 495, doi:10.4310/jdg/1214439291.