Satz von Hellinger-Toeplitz

Der Satz von Hellinger-Toeplitz ist ein mathematischer Satz aus der Funktionalanalysis. Er ist nach den Mathematikern Ernst Hellinger und Otto Toeplitz benannt.

Formulierung

Es seien $H$ ein Hilbertraum und $T:H\rightarrow H$ ein symmetrischer linearer Operator, das heißt, ein Operator, der für alle $x,\,y\in H$ die Gleichung

\langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle

erfüllt. Dann ist $T$ stetig.

Beweis

Nach dem Satz vom abgeschlossenen Graphen ist es hinreichend, Folgendes zu zeigen: Ist $(x_{n})_{{n\in {\mathbb N}}}$ eine Nullfolge und $Tx_{n}$ konvergent, dann ist $\lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n}=0$ .
Verwendet man die Stetigkeit des Skalarprodukts auf $H$ und setzt $y:=\lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n}$ , dann folgt

\langle y,y\rangle =\langle \lim _{{n\rightarrow \infty }}Tx_{n},y\rangle =\lim _{{n\rightarrow \infty }}\langle Tx_{n},y\rangle =\lim _{{n\rightarrow \infty }}\langle x_{n},Ty\rangle =\langle \lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n},Ty\rangle =\langle 0,Ty\rangle =0,

also $y = 0$ .

Folgerungen

Da der Operator $T$ linear und stetig ist, ist er auch beschränkt.
Jeder symmetrische, überall auf $H$ definierte Operator ist selbstadjungiert.
Unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren können höchstens auf einer dichten Teilmenge eines Hilbertraums definiert sein.

Verallgemeinerung

Man kann die Bedingung im Satz von Hellinger-Toeplitz abschwächen:

Es seien $H_{1}$ und $H_{2}$ Hilberträume und $T:H_{1}\rightarrow H_{2}$ ein linearer Operator, der ein Adjungiertes besitzt, das heißt: Es gibt einen Operator $S:H_{2}\rightarrow H_{1}$ , der für alle $x\in H_{1}$ und $y\in H_{2}$ die Gleichung

\langle Tx,y\rangle _{H_{2}}=\langle x,Sy\rangle _{H_{1}}

erfüllt. Dann sind $T$ und $S$ stetig.

Der Beweis geht analog.

Literatur

Dirk Werner: Funktionalanalysis (Springer, 5. Auflage 2005)