Zur Bestimmung des Flächeninhalts einer
-dimensionalen Fläche im
-dimensionalen Raum
(mit
) gibt es in der Mathematik diverse Maße, die für alle Teilmengen des
definiert sind und auf den „anständigen“ (nicht entarteten)
-dimensionalen Flächen deren heuristischen Flächeninhalt ergeben. (Zu den „anständigen“ Flächen gehören insbesondere die Untermannigfaltigkeiten des
.)
Das bekannteste dieser Maße ist das
-dimensionale Hausdorff-Maß
, benannt nach Felix Hausdorff; zur Veranschaulichung der Definition soll zunächst jedoch das
-dimensionale sphärische Maß
erläutert werden.
Definition des sphärischen Maßes
Zu einer Teilmenge
des
betrachtet man die Größen

für
, wobei das Infimum über alle Überdeckungen
von
durch abzählbar viele
-dimensionale Kugeln
… im
mit Durchmessern (Diametern)
gebildet wird. Hierbei ist
das Volumen der
-dimensionalen Einheitskugel (Kugel mit Radius 1) im
, gleichbedeutend mit dem
-dimensionalen Flächeninhalt des
-dimensionalen Einheitskreises im
. Der Formfaktor
sorgt für die richtige „Normierung“ des resultierenden Flächenmaßes. Die Summanden
sind gerade die
-dimensionalen Flächeninhalte der Schnittmengen der Kugeln
mit durch deren Mittelpunkt verlaufenden
-dimensionalen Ebenen im
.
Das
-dimensionale sphärische Maß von
wird dann, vermöge zunehmender Kleinheit der Kugeln, definiert durch

Die Verfeinerung der Kugelüberdeckungen durch gegen 0 gehende Durchmesser bewirkt eine zunehmende Annäherung der
-dimensionalen Äquatorialflächen der Kugeln an die Ausgangsfläche
.
Definition des Hausdorff-Maßes
Zur Definition des Hausdorff-Maßes
gelangt man, wenn statt der Kugeln alle Teilmengen des
bei den Überdeckungen zugelassen werden. Der Durchmesser von
ist definiert durch

für
und
, und man setzt entsprechend für

wobei hier das Infimum gebildet wird über alle Überdeckungen
von
durch abzählbar viele (beliebige) Teilmengen
… des
mit
. Schließlich definiert man

das metrische äußere Maß
, das auch äußeres Hausdorff-Maß genannt wird. Die Einschränkung des Definitionsbereiches auf Carathéodory-messbare Mengen liefert das Maß
.
Die Ausdrücke
und
sind selbst äußere Maße und haben durchaus bei gewissen Mengen verschiedene Werte – der Unterschied verschwindet in einigen „pathologischen“ Fällen auch nicht beim Grenzübergang
gegen 0 –, jedoch liefern die beiden Maße
und
bei den rektifizierbaren (den „anständigen“)
-dimensionalen Mengen denselben Wert. Allgemein gilt die Ungleichung
![\mathcal{H}^m\le \mathcal{S}^m\le[2n/(n+1)]^{m/2}\mathcal{H}^m.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4ce5b8c98bacb4fa50b911b8ed897ec49c194bd)
Zusammenhang mit der Flächenformel
Zur expliziten Berechnung des Hausdorff-Maßes einer parametrisierten Fläche
mit einem Gebiet
und einer injektiven differenzierbaren Funktion
findet die Flächenformel Anwendung:

Dabei ist
die verallgemeinerte Jacobi-Determinante von
, und
bezeichnet das
-dimensionale Lebesgue-Maß (Volumenmaß) im
.
Verallgemeinerungen
- Analog verwendet man für „nicht-ganzzahlige Dimensionen“
die obigen Definitionen von
und
mit
, wobei
die Gamma-Funktion bezeichnet. Die Hausdorff-Dimension einer Teilmenge
des
ist dann diejenige (eindeutig bestimmte) Zahl
mit
für alle
und
für alle
. Wegen der oben genannten Ungleichung spielt der Unterschied zwischen
und
bei der Bestimmung der Hausdorff-Dimension keine Rolle.
In den letzten Jahrzehnten kamen Fraktale in den Blickpunkt von populärwissenschaftlichen Medien. Fraktale sind Teilmengen des
mit gebrochener („fraktaler“) Hausdorff-Dimension; in der Öffentlichkeit werden Fraktale überwiegend als Mengen wahrgenommen, die sich neben ihrer fraktalen Dimension noch durch gewisse Selbstähnlichkeiten auszeichnen.
- Die Definition des
-dimensionalen Hausdorff-Maßes bleibt ohne wesentliche Veränderungen gültig in jedem metrischen Raum anstelle des
; das Gleiche gilt für das
-dimensionale sphärische Maß. Dafür wird nur die Betragsfunktion in der Definition des Durchmessers durch die zugrundeliegende Metrik
ersetzt. Das heißt, aus
wird
.
Literatur
-
Herbert Federer: Geometric Measure Theory (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 153). Springer, 1969, ISBN 3-540-60656-4, ISSN 0072-7830 (Nachdruck ebenda 1996).